高中数学 课时跟踪检测（六）函数的极值与导数 新人教a版选修

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1、课时跟踪检测(六)　函数的极值与导数一、选择题1．(陕西高考)设函数f(x)＝＋lnx，则(　　)A．x＝为f(x)的极大值点B．x＝为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点解析：选D　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＋＝，当x＝2时，f′(x)＝0；当x>2时，f′(x)>0，函数f(x)为增函数；当0

2、有极小值C．无极值D．无法判断极值情况解析：选C　f′(x)＝6x(x2－1)2＝6x(x－1)2(x＋1)2，虽然f′(－1)＝0，但f′(x)在x＝－1的左右(附近)不变号，∴函数f(x)在x＝－1处没有极值．3．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于点(1,0)，则f(x)的(　　)A．极大值为，极小值为0B．极大值为0，极小值为C．极小值为－，极大值为0D．极大值为－，极小值为0解析：选A　∵f′(x)＝3x2－2px－q，∴f′(1)＝3－2p－q＝0.①又∵f(1)＝1－p－q＝0，②由①②解得p＝2，q

3、＝－1，即f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1.令f′(x)＝0，得x＝或x＝1，从而当x∈∪(1，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0.故f(x)在，(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减．∴当x＝时，f(x)有极大值，当x＝1时，f(x)有极小值0.4．若函数f(x)＝x2－2bx＋3a在区间(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是(　　)A．b＜1B．b＞1C．0＜b＜1D．b＜解析：选C　f′(x)＝2x－2b＝2(x－b)，令f′(x)＝0，解得x＝b，由于函数f(x)在区间(0,1)内

4、有极小值，则有0＜b＜1.当0＜x＜b时，f′(x)＜0；当b＜x＜1时，f′(x)＞0，符合题意，所以实数b的取值范围是0＜b＜1.5．设函数f(x)＝x－lnx(x＞0)，则y＝f(x)(　　)A．在区间，(1，e)内均有零点B．在区间，(1，e)内均无零点C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点解析：选D　f′(x)＝－＝，令f′(x)＝0，得x＝3，当0＜x＜3时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在区间(0,3)上为减函数．又因为f(1)＝＞0，f(e)＝－1＜0，f＝＋1＞

5、0，所以y＝f(x)在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点．二、填空题6．若函数f(x)＝在x＝1处取得极值，则a＝________.解析：f′(x)＝＝，由题意得f′(1)＝＝0，解得a＝3.经检验，a＝3符合题意．答案：37．函数f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1]既有极大值又有极小值，则a的取值范围是__________．解析：f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，令f′(x)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0.因为函数f(x)有极大值和极小值，所以方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a

6、2－4a－8＞0，解得a＞2或a＜－1.答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)8．已知函数f(x)＝x4＋9x＋5，则f(x)的图象在(－1，3)内与x轴的交点的个数为________．解析：因为f′(x)＝4x3＋9，当x∈(－1,3)时，f′(x)＞0，所以f(x)在(－1,3)上单调递增．又因为f(－1)＝－3＜0，f(0)＝5＞0，所以f(x)在(－1，3)内与x轴只有一个交点．答案：1三、解答题9．(新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4

7、.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．解：(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8，从而得a＝4，b＝4.(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2).令f′(x)＝0，得x＝－ln2或x＝－2.从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈(－2，－ln2)时，f′(x)＜0.故f(x)在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－

8、2，－ln2)上单调递减．当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4.10．已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交