课题9.4直线与平面垂直（三）

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1、课题：9．4直线和平面垂直(三) 教学目的：1．掌握三垂线定理及其逆定理的证明2．正确地运用三垂线定理或逆定理证明两直线垂直教学重点：三垂线定理及其逆定理的证明教学难点：用三垂线定理及其逆定理证明两条异面直线的垂直授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：三垂线定理和逆定理是平面的一条斜线和平面内一条直线垂直的判定定理和性质定理借助于直线的射影，平面上垂直于斜线射影的直线，则与斜线垂直；相反，平面上的直线若垂直于斜线，则亦垂直干斜线的射影，这就是三垂线定理和逆定理的内容可见，三垂线定理和逆定理有两方面作用一方面，把判定空间两直线垂直的问题转化为判定平面内两直线

2、的垂直问题；另一方面，又把平面上判定两直线垂直问题转化为判定空间两直线垂直问题正是由于三垂线定理及逆定理是使空间两直线垂直与平面内两直线垂直相互转化的工具，它们在空间图形的计算和证明中有着广泛的应用因此它几乎成为高考立体几何中每年必考的内容，关于这部分内容的考查，主要是：（l）在复杂的空间图形中，抽取出三垂线定理或逆定理所涉及的斜线、斜线在平面内的射影、平面内与射影（或斜线）垂直的直线；（2）正确地运用三垂线定理或逆定理证明两直线垂直；（3）能利用三垂线定理或逆定理把空间两直线垂直问题与平面上西直线垂直问题相互转化；（4）利用三垂线定理或逆定理寻求直线与平面所成的角，二面角的平面角，

3、点到平面的距离等教学过程：一、复习引入：1直线和平面的位置关系（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）2线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行推理模式：3线面平行的性质第7页（共7页）定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行推理模式：4线面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面交点叫做垂足直

4、线与平面垂直简称线面垂直，记作：a⊥α5直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面6直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行二、讲解新课：1三垂线定理在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直已知：分别是平面的垂线和斜线，是在平面内的射影，，且求证：；证明：∵∴，又∵∴平面，∴．说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系；（2）推理模式：2．三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的

5、射影垂直推理模式：．注意：⑴三垂线指PA，PO，AO都垂直α内的直线a其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理⑵要考虑a的位置，并注意两定理交替使用三、讲解范例：例1已知：点是的垂心，，垂足为，求证：．证明：∵点是的垂心，∴又∵，垂足为，第7页（共7页）所以，由三垂线定理知，．例2如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上已知：∠BAC在α内，PÏa，PE^AB于E，PF^AC于F且PE=PF，PO^a求证：O在∠BAC的平分线上（即∠BAO=∠CAO）证明：连接OE，OF∵PO^a∴EO，FO分别为PE，PF在a上的射影∵PE=

6、PF∴OE=OF∵PE^AB，PF^AC∴OE^AB，OF^AC(三垂线定理的逆定理)∴O到∠BAC两边距离相等∴O在∠BAC的平分线上变式：已知：在平面内，点，垂足分别为，求证：．证明：∵，∴（三垂线定理逆定理）∵，∴，∴，又∵，∴∴．推广：经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线的这个角两边夹角相等，那麽斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在直线例3．在三棱锥P-ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，H是△ABC的垂心求证：⑴PH^底面ABC⑵△ABC是锐角三角形.证明：⑴∵PA^PBPA^PC且PB∩PC=P∴PA^侧面PBC又∵BCÌ平面PBD∴PA^BC∵H是

7、△ABC的垂心∴AH^BC∵PA∩AH=A∴BC^截面PAH又PHÌ平面PAH∴BC^PH同理可证：AB^PH又ABÇBC=B∴PH^面ABC⑵设AH与直线BC的交点为E，连接PE由⑴知PH^底面ABC∴AE为PE在平面ABC的射影由三垂线定理：PE^BC∵PB^PC即△BPC是直角三角形，BC为斜边第7页（共7页）∴E在BC边上由于AE^BC，故B∠C都是锐角同理可证：∠A也是锐角∴△ABC为锐角三角形四、课堂练习：1．选择题（1）如图BC是Rt⊿ABC