9．4直线和平面垂直(四)

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1、高中数学教案第九章直线平面简单几何体(B)（第11课时）课题：9．4直线和平面垂直(四) 教学目的：1．掌握三垂线定理及其逆定理的证明2．正确地运用三垂线定理或逆定理证明两直线垂直教学重点：三垂线定理及其逆定理的证明教学难点：用三垂线定理及其逆定理证明两条异面直线的垂直授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1直线和平面的位置关系（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）2线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行推

2、理模式：3线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行推理模式：4线面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面交点叫做垂足直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a⊥α5直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面6直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行7三垂线定理在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也

3、和这条斜线垂直说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系；第4页（共4页）高中数学教案第九章直线平面简单几何体(B)（第11课时）（2）推理模式：8．三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直推理模式：．注意：⑴三垂线指PA，PO，AO都垂直α内的直线a其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理⑵要考虑a的位置，并注意两定理交替使用三、讲解范例：例1如图，道路两旁有一条河，河对岸有电塔，高，只有量角器和皮尺作测量工具，能否测出电塔顶与道路的距离？解：在道路边取点，使与道路边所成的水平角等于，

4、再在道路边取一点，使水平角，测得的距离等于，∵是在平面上的射影，且∴（三垂线定理）因此斜线段的长度就是塔顶与道路的距离，∵，∴，在中得，答：电塔顶与道路距离是．例2．点为所在平面外的一点，点为点在平面内的射影，若，求证：．证明：连结，∵，且∴（三垂线定理逆定理）同理，∴为的垂心，∴，又∵，∴（三垂线定理）例3．已知：四面体中，是锐角三角形，是点在面上的射影，求证：不可能是的垂心．证明：假设是的垂心，连结，则，∵∴是在平面内的射影，∴（三垂线定理）第4页（共4页）高中数学教案第九章直线平面简单几何体(B)（第11课时）又∵，是在平面内的射影∴（三垂线定理的逆定理）∴是直角三角形，此与

5、“是锐角三角形”矛盾∴假设不成立，所以，不可能是的垂心例4．已知：如图，在正方体中，是的中点，是的交点，求证：．证明：，是在面上的射影又∵，∴取中点，连结，∵，∴为在面上的射影，又∵正方形中，分别为的中点，∴，∴（三垂线定理）又∵，∴．四、课堂练习：1．如图，PA⊥△ABC所在平面，AB＝AC＝13，BC＝10，PA＝5，求点P到直线BC的距离．参考答案：设BC的中点为D，连结PD．∵AB＝AC＝13，BC＝10，∴AD⊥BC．且AD＝12．又∵PA⊥平面ABC，∴PD⊥BC．即PD的长度就是P到直线BC的距离．而PD＝13．2．如图，是平面α的斜线，斜足是O，A是上任意一点，AB

6、是平面α的垂线，B是垂足，设OD是平面α内与OB不同的一条直线，AC垂直于OD于C，若直线与平面α所成的角θ＝45°，∠BOC＝45°，求∠AOC的大小．参考答案：连结BC．第4页（共4页）高中数学教案第九章直线平面简单几何体(B)（第11课时）中，有∠AOC＝60°．五、小结：我们学习了三垂线定理及其逆定理，定理的证明方法是证明空间两条直线互相垂直的基本方法，我们称之为线面垂直法；还通过练习的训练加深了定理的理解，同时得到立体几何问题解决的一般思路．六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：第4页（共4页）