高中数学算法初步第3节算法案例教学案新人教a版

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1、第3节算法案例[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P34～P45，回答下列问题．(1)小学学过的求两个正整数的最大公约数的方法是什么？提示：先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来．(2)辗转相除法的操作步骤是什么？提示：两个数中用较大的数除以较小的数，求得商和余数，再用除数除以余数，如此重复，直到所得余数为0，即可求得两个数的最大公约数．(3)更相减损术的操作步骤什么？提示：第一步，任意给定两个正整数，判定它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步．第二步，以较大的数减去较小的

2、数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．(4)应用秦九韶算法求多项式的值时应怎样操作？提示：求多项式的值时，先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1＝anx＋an－1，再由内向外逐层计算一次多项式vk(k＝2,3,4，…，n)的值．(5)将k进制数转化为十进制的方法是什么？提示：“除k取余法”．2．归纳总结，核心必记(1)辗转相除法与更相减损术①辗转相除法：又叫欧几里得算法，是一种求两个正整数的最大公约数的古老而有效的算法．②更相减损术：我国古代数

3、学专著《九章算术》中介绍的一种求两个正整数的最大公约数的算法．(2)秦九韶算法求多项式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a012的值时，常用秦九韶算法，这种算法的运算次数较少，是多项式求值比较先进的算法，其实质是转化为求n个一次多项式的值，共进行n次乘法运算和n次加法运算．其过程是：改写多项式为：f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0＝(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0＝…＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0.设

4、v1＝anx＋an－1，v2＝v1x＋an－2，v3＝v2x＋an－3，……vn＝vn－1x＋a0.(3)进位制①进位制进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，“满几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．②其他进位制与十进制间的转化(ⅰ)其他进位制化成十进制其他进位制的数化成十进制时，表示成不同位上数字与基数的幂的乘积之和的形式．(ⅱ)十进制化成k进制的方法——“除k取余法”．[问题思考](1)辗转相除法与更相减损术有什么联系？提示：①都是求两个正整数的最大公约数的方法．②二者的实质都是递推的过程．③二者都是用循环结构来实现．(2)辗转相除法与更

5、相减损术有什么区别？提示：辗转相除法更相减损术区别①以除法为主．②两个整数差值较大时运算次数较少．③相除余数为零时得结果①以减法为主．②两个整数的差值较大时，运算次数较多．③相减，差与减数相等得结果．④相减前要做是否都是偶数的判断(3)当所给的多项式按x12的降幂排列“缺项”时，用秦九韶算法改写多项式时，应注意什么？提示：所缺的项写成系数为零的形式，即写成0·xn的形式．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点：(1)辗转相除法是什么？　；(2)更相减损术是什么？　；(3)秦九韶算法是什么？　；(4)进位制及进位制间的互化：　.观察如图所示的内容：

6、[思考1]　辗转相除法的算理是什么？名师指津：所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数．若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数．[思考2]　更相减损术的算理是什么？名师指津：所谓更相减损术，就是对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤，直到差数和较小的数相等，此时相等的两数便为原来两个数的最大公约数．讲一讲1．用辗转相除法求612与468的最大公约数，并用更相减损术检验所得

7、结果．[尝试解答]　用辗转相除法：612＝468×1＋144,468＝144×3＋36,144＝36×4，即612和468的最大公约数是36.用更相减损术检验：12612和468为偶数，两次用2约简得153和117,153－117＝36,117－36＝81,81－36＝45,45－36＝9,36－9＝27,27－9＝18,18－9＝9，所以612和468的最大公约数为9×2×2＝36.求最大公约数的两种方法步骤(1)利用辗转相除法求给定的两个数的最大公约数，即利用带余除法，用数对中较大的数除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的数对，再利用

8、带余除法，直到大数被小数除尽，则这时的较小数就是原来两个数的最大公约数．(2)利