高中数学三角函数9三角函数的简单应用教学案北师大版

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1、9三角函数的简单应用讲一讲1．某海滨浴场的海浪高度y(单位：m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下表是测得的某日各时的浪高数据：t03691215182124y1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观测，函数y＝f(t)的图像可以近似地看成函数y＝Acos(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0)的图像．(1)根据上表数据，求y＝Acos(ωt＋φ)＋b的解析式；(2)依据规定，当海浪高度高于1m时才对冲浪者开放，请依据(1)的结论，判断一天内从上午到晚上(8：00～20：00)，开放冲浪场所的具体时间段，有多

2、长时间可供冲浪者进行活动？[尝试解答]　(1)由表中的数据，知最小正周期T＝12小时，ω＝＝，φ＝0，故函数解析式为y＝Acost＋b.由t＝0时，y＝1.5得A＋b＝1.5，由t＝3时，y＝1.0得b＝1，∴A＝0.5，故函数解析式为y＝0.5cost＋1.(2)由题意可知，当y>1时才对冲浪者开放，即0.5cost＋1>1，cost>0，则2kπ－

3、放冲浪场所的具体时间段为上午9：00到下午15：00.-13-根据给出的函数模型，利用表中的数据，找出变化规律，运用已学的知识与三角函数的知识，求出函数解析式中的参数，将实际问题转化三角方程或三角不等式，然后解方程或不等式，可使问题得以解决．练一练1．在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12h，低潮时水的深度为8.4m，高潮时为16m，一次高潮发生在10月10日4：00.每天涨潮落潮时，水的深度d(m)与时间t(h)近似满足关系式d＝Asin(ωt＋φ)＋h(A>0，ω>0)．(1)若从10月10日0：00开始计算时间，选用一个三角函数

4、来近似描述该港口的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系；(2)10月10日17：00该港口水深约为多少？(保留一位小数)(3)10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3m?解：(1)依题意知T＝＝12，故ω＝，h＝＝12.2，A＝16－12.2＝3.8，所以d＝3.8sin(t＋φ)＋12.2；又因为t＝4时，d＝16，所以sin(＋φ)＝1，所以φ＝－，所以d＝3.8sin(t－)＋12.2.(2)t＝17时，d＝3.8sin(－)＋12.2＝3.8sin＋12.2≈15.5(m)．(3)令3.8sin(t－)＋12.2＜

5、10.3，有sin(t－)＜－，因此2kπ＋＜t－＜2kπ＋(k∈Z)，所以2kπ＋＜t＜2kπ＋2π，k∈Z，所以12k＋8＜t＜12k＋12.-13-令k＝0，得t∈(8，12)；令k＝1，得t∈(20，24)．故这一天共有8小时水深低于10.3m.讲一讲2．如图所示的为一个观览车示意图，该观览车的半径为4.8m，圆上最低点与地面的距离为0.8m，60s转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面的距离为h.(1)求h与θ之间的函数关系式；(2)设从OA开始转动，经过t秒到达OB，求h与t之间的函数

6、关系式；(3)求缆车首次到达最高点所用的时间．[尝试解答]　(1)以圆心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则以Ox为始边，OB为终边的角为θ－，故点B的坐标为(4.8cos(θ－)，4.8sin(θ－))，∴h＝5.6＋4.8sin(θ－)＝5.6－4.8cosθ(θ≥0)．(2)点A在圆上转动的角速度是rad/s，故t秒转过的弧度数为t，∴h＝5.6－4.8cos，t∈[0，＋∞)．(3)到达最高点时，h＝10.4m.由cost＝－1，得×t＝π，∴t＝30.∴缆车首次到达最高点所用的时间为30s.-13-解答三角函数应用题的一般

7、步骤：练一练2．如图，一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行，已知圆环的半径为m，圆环的圆心距离地面的高度为1m，蚂蚁每分钟爬行一圈，若蚂蚁的起始位置在最低点P0处．(1)试确定在时刻t(单位：s)时蚂蚁距离地面的高度h(单位：m)；(2)在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，有多长时间蚂蚁距离地面超过m?解：(1)以圆心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设ts时蚂蚁到达点P，则蚂蚁转过的角的弧度数为t＝t，于是点P的纵坐标y＝sin(t－)＝－cost.∴h＝1＋y＝1－cost(t≥0)．(2)由1－cost>得cost<，-13-又

8、由0≤t≤60，得0≤t≤2π，∴