2014版高考数学（理科）二轮复习 压轴大题突破练(三)

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1、压轴大题突破练(三)(推荐时间：60分钟)1．已知函数f(x)＝x2－2alnx＋(a－2)x，a∈R.(1)当a＝1时，求函数f(x)图象在点(1，f(1))处的切线方程；(2)当a<0时讨论函数f(x)的单调性；(3)是否存在实数a，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2有>a恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．解　f′(x)＝x－＋a－2＝(x>0)．(1)当a＝1时，f′(x)＝，f′(1)＝－2，∴所求的切线方程为y－f(1)＝－2(x－1)，即4x＋2y－3＝0

2、.(2)①当－a＝2，即a＝－2时，f′(x)＝≥0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．②当－a<2，即－22时，f′(x)>0；－a2，即a<－2时，∵0－a时，f′(x)>0；2

3、a知f(x2)－ax2>f(x1)－ax1成立，令g(x)＝f(x)－ax＝x2－2alnx－2x，则函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴g′(x)＝x－－2≥0，即2a≤x2－2x＝(x－1)2－1在(0，＋∞)上恒成立．∴a≤－，故存在这样的实数a满足题意，其范围为.2．已知圆C：(x＋)2＋y2＝16，点A(，0)，Q是圆上一动点，AQ的垂直平分线交CQ于点M，设点M的轨迹为E.(1)求轨迹E的方程；(2)过点P(1,0)的直线l交轨迹E于两个不同的点A、B，△AOB(O是坐标原点)的面

4、积S∈，若弦AB的中点为R，求直线OR斜率的取值范围．解　(1)由题意，得

5、MC

6、＋

7、MA

8、＝

9、MC

10、＋

11、MQ

12、＝

13、CQ

14、＝4>2，所以点M的轨迹是以A，C为焦点，长轴长为4的椭圆，即轨迹的方程为＋y2＝1.(2)记A(x1，y1)，B(x2，y2)，R(x0，y0)，由题意，直线l的斜率不可能为0，故可设直线l：x＝my＋1，由消去x，得(4＋m2)y2＋2my－3＝0.所以S＝

15、OP

16、·

17、y1－y2

18、＝＝，由S∈，解得1

19、，所以y0＝＝－，x0＝my0＋1＝.故直线OR的斜率k＝＝－∈∪.3．已知x＝3是函数f(x)＝aln(1＋x)＋x2－10x的一个极值点．(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)若直线y＝b与函数y＝f(x)的图象有3个交点，求b的的取值范围．解　(1)∵f′(x)＝＋2x－10，∴f′(3)＝＋6－10＝0，故a＝16.(2)由(1)，知f(x)＝16ln(1＋x)＋x2－10x，x∈(－1，＋∞)，f′(x)＝＝.当x∈(－1,1)∪(3，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(1

20、,3)时，f′(x)<0.则f(x)的单调递增区间是(－1,1]和[3，＋∞)，单调递减区间是[1,3]．(3)由(2)知，f(x)在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，且当x＝1或x＝3时，f′(x)＝0.所以f(x)的极大值为f(1)＝16ln2－9，极小值为f(3)＝32ln2－21.所以在f(x)的三个单调区间(－1,1]，[1,3]，[3，＋∞)上，当且仅当f(3)

21、为(32ln2－21,16ln2－9)．4．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴，离心率为，它的一个焦点恰好与抛物线y2＝4x的焦点重合．(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆的上顶点为A，过A作椭圆C的两条动弦AB、AC，若直线AB、AC的斜率之积为，试问直线BC是否经过一定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由．解　(1)设所求椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，∵2p＝4，∴p＝2，抛物线的焦点为F(1,0)，∴椭圆的一个焦点为F(1,0)，∴c＝1.又∵＝，∴a＝，∴b2＝a2－c2＝1

22、，故所求椭圆的方程为＋y2＝1.(2)由(1)知A(0,1)．当直线BC的斜率不存在时，设BC：x＝x0，设B(x0，y0)，则C(x0，－y0)，kAB·kAC＝·＝＝＝≠，不合题意．故直线BC的斜率存在，设直线BC的方程为y＝kx＋m，并代入椭圆方程，整理得：(1＋2k2)x2＋4kmx＋2(m2－1)＝0①由Δ＝(4km)2－8(1＋2k2)(m2－1)>0得2k2－m2＋1>0，②设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1，x2是方程①的两根，∴x1＋x2＝－，x1·x2