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时间:2019-06-27
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1、极坐标与参数方程一、基础知识与例题►考向一极坐标系与简单曲线的极坐标方程考向:求点的极坐标、曲线的极坐标方程,把直角坐标化为极坐标系、极坐标化为直角坐标.例1在极坐标系中,直线C1的极坐标方程为ρsinθ=2,M是C1上任意一点,点P在射线OM上,且满足
2、OP
3、·
4、OM
5、=4,记点P的轨迹为C2.(1)求曲线C2的极坐标方程;(2)求曲线C2上的点到直线C3:ρcos=距离的最大值.解:(1)设P(ρ,θ),M(ρ1,θ),依题意有ρ1sinθ=2,ρρ1=4.消去ρ1,得曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ(ρ≠0).(2)
6、将C2,C3的极坐标方程化为直角坐标方程,得C2:x2+(y-1)2=1,C3:x-y=2.C2是以点(0,1)为圆心,以1为半径的圆,圆心到直线C3的距离d=,故曲线C2上的点到直线C3距离的最大值为1+.► 考向二 简单曲线的参数方程考向:求曲线的参数方程,化参数方程为普通方程,参数方程的应用.例2已知圆(x-2cosθ)2+(y+2cos2θ-2)2=1.(1)求圆心的轨迹C的方程;(2)若存在过点P(0,a)的直线交轨迹C于A,B两点,且
7、PA
8、,
9、AB
10、,
11、PB
12、构成等比数列,求a的取值范围.解:(1)圆(x-2co
13、sθ)2+(y+2cos2θ-2)2=1的圆心(x,y)的坐标为(2cosθ,2-2cos2θ),即消去参数θ后可得轨迹C的方程为y=4-x2(-2≤x≤2).(2)设直线AB的方程为(α为直线AB的倾斜角,t为参数),代入y=4-x2,得t2cos2α+tsinα+a-4=0,显然cosα≠0,即α≠,设其两根为t1,t2.∵
14、PA
15、,
16、AB
17、,
18、PB
19、构成等比数列,即
20、AB
21、2=
22、PA
23、·
24、PB
25、,又∵
26、PA
27、·
28、PB
29、=
30、t1t2
31、=,
32、AB
33、2=
34、t1-t2
35、2=-4=,∴=,即sin2α=[4(a-4)+
36、a-4
37、]
38、cos2α,∴tan2α=4(a-4)+
39、a-4
40、.由tan2α≥0得a≥4,又
41、PA
42、·
43、PB
44、=
45、t1t2
46、≠0,∴a>4,tan2α=5(a-4),又设轨迹上的点M(-2,0),N(2,0),则tan2α≤k=,∴a2-20a+80≥0,又a>4,∴a≥10+2或447、正半轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.(1)求圆C在直角坐标系中的标准方程;(2)设P为圆C上任意一点,圆心C为线段AB的中点,求48、PA49、+50、PB51、的最大值.解:(1)∵ρ=2cosθ-2sinθ,∴ρ2=2ρcosθ-2ρsinθ.由于ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ,得x2+y2-2x+2y=0.∴圆C在直角坐标系中的标准方程为(x-)2+(y+1)2=4.(2)∵点A的极坐标为(,2π),∴点A的直角坐标为(cos2π,sin2π),即(,0).圆心C(,-1)为线段AB的中点,故点B的直角坐标为(,52、-2).∵圆C的参数方程为(θ为参数),P为圆C上任意一点,∴设点P的坐标为(+2cosθ,-1+2sinθ),则53、PA54、+55、PB56、=+=+==.当sinθ=0时,(57、PA58、+59、PB60、)max==2.∴61、PA62、+63、PB64、的最大值为2.二、教师备用例题例1.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),它与曲线C:(y-2)2-x2=1交于A、B两点.(1)求65、AB66、的长;(2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系中,设点P的极坐标为,求点P到线段AB中点M的距离.解:(1)把直线的参数方程对应的坐标代入曲线67、方程,化简得7t2-12t-5=0,设A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=,t1t2=-.所以68、AB69、=70、t1-t271、=5=.(2)易得点P在平面直角坐标系下的坐标为(-2,2),根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为=.所以由t的几何意义可得点P到M的距离为72、PM73、=·=.例2.直角坐标系xOy中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的方程为ρ=4cosθ,直线l的方程为(t为参数),直线l与曲线C的公共点为T.(1)求点T的极坐标;(2)过点T作直线l′,l′被曲线C截得的线段长为2,求直74、线l′的极坐标方程.解:(1)曲线C:ρ=4cosθ化为直角坐标方程为x2-4x+y2=0.将代入上式并整理得t2-4t+12=0.解得t=2.所以点T的坐标为(1,).其极坐标为.(2)设直线l′的方程为y-=k(x-1),即kx-y+-k=0.由(1)得曲线C是以(2,0
47、正半轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.(1)求圆C在直角坐标系中的标准方程;(2)设P为圆C上任意一点,圆心C为线段AB的中点,求
48、PA
49、+
50、PB
51、的最大值.解:(1)∵ρ=2cosθ-2sinθ,∴ρ2=2ρcosθ-2ρsinθ.由于ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ,得x2+y2-2x+2y=0.∴圆C在直角坐标系中的标准方程为(x-)2+(y+1)2=4.(2)∵点A的极坐标为(,2π),∴点A的直角坐标为(cos2π,sin2π),即(,0).圆心C(,-1)为线段AB的中点,故点B的直角坐标为(,
52、-2).∵圆C的参数方程为(θ为参数),P为圆C上任意一点,∴设点P的坐标为(+2cosθ,-1+2sinθ),则
53、PA
54、+
55、PB
56、=+=+==.当sinθ=0时,(
57、PA
58、+
59、PB
60、)max==2.∴
61、PA
62、+
63、PB
64、的最大值为2.二、教师备用例题例1.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),它与曲线C:(y-2)2-x2=1交于A、B两点.(1)求
65、AB
66、的长;(2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系中,设点P的极坐标为,求点P到线段AB中点M的距离.解:(1)把直线的参数方程对应的坐标代入曲线
67、方程,化简得7t2-12t-5=0,设A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=,t1t2=-.所以
68、AB
69、=
70、t1-t2
71、=5=.(2)易得点P在平面直角坐标系下的坐标为(-2,2),根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为=.所以由t的几何意义可得点P到M的距离为
72、PM
73、=·=.例2.直角坐标系xOy中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的方程为ρ=4cosθ,直线l的方程为(t为参数),直线l与曲线C的公共点为T.(1)求点T的极坐标;(2)过点T作直线l′,l′被曲线C截得的线段长为2,求直
74、线l′的极坐标方程.解:(1)曲线C:ρ=4cosθ化为直角坐标方程为x2-4x+y2=0.将代入上式并整理得t2-4t+12=0.解得t=2.所以点T的坐标为(1,).其极坐标为.(2)设直线l′的方程为y-=k(x-1),即kx-y+-k=0.由(1)得曲线C是以(2,0
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