极坐标讲义与例题

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1、极坐标与参数方程一、基础知识与例题►考向一极坐标系与简单曲线的极坐标方程考向：求点的极坐标、曲线的极坐标方程，把直角坐标化为极坐标系、极坐标化为直角坐标．例1在极坐标系中，直线C1的极坐标方程为ρsinθ＝2，M是C1上任意一点，点P在射线OM上，且满足

2、OP

3、·

4、OM

5、＝4，记点P的轨迹为C2.(1)求曲线C2的极坐标方程；(2)求曲线C2上的点到直线C3：ρcos＝距离的最大值．解：(1)设P(ρ，θ)，M(ρ1，θ)，依题意有ρ1sinθ＝2，ρρ1＝4.消去ρ1，得曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ(ρ≠0)．(2)

6、将C2，C3的极坐标方程化为直角坐标方程，得C2：x2＋(y－1)2＝1，C3：x－y＝2.C2是以点(0，1)为圆心，以1为半径的圆，圆心到直线C3的距离d＝，故曲线C2上的点到直线C3距离的最大值为1＋.►　考向二　简单曲线的参数方程考向：求曲线的参数方程，化参数方程为普通方程，参数方程的应用．例2已知圆(x－2cosθ)2＋(y＋2cos2θ－2)2＝1.(1)求圆心的轨迹C的方程；(2)若存在过点P(0，a)的直线交轨迹C于A，B两点，且

7、PA

8、，

9、AB

10、，

11、PB

12、构成等比数列，求a的取值范围．解：(1)圆(x－2co

13、sθ)2＋(y＋2cos2θ－2)2＝1的圆心(x，y)的坐标为(2cosθ，2－2cos2θ)，即消去参数θ后可得轨迹C的方程为y＝4－x2(－2≤x≤2)．(2)设直线AB的方程为(α为直线AB的倾斜角，t为参数)，代入y＝4－x2，得t2cos2α＋tsinα＋a－4＝0，显然cosα≠0，即α≠，设其两根为t1，t2.∵

14、PA

15、，

16、AB

17、，

18、PB

19、构成等比数列，即

20、AB

21、2＝

22、PA

23、·

24、PB

25、，又∵

26、PA

27、·

28、PB

29、＝

30、t1t2

31、＝，

32、AB

33、2＝

34、t1－t2

35、2＝－4＝，∴＝，即sin2α＝[4(a－4)＋

36、a－4

37、]

38、cos2α，∴tan2α＝4(a－4)＋

39、a－4

40、.由tan2α≥0得a≥4，又

41、PA

42、·

43、PB

44、＝

45、t1t2

46、≠0，∴a>4，tan2α＝5(a－4)，又设轨迹上的点M(－2，0)，N(2，0)，则tan2α≤k＝，∴a2－20a＋80≥0，又a>4，∴a≥10＋2或4

47、正半轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．(1)求圆C在直角坐标系中的标准方程；(2)设P为圆C上任意一点，圆心C为线段AB的中点，求

48、PA

49、＋

50、PB

51、的最大值．解：(1)∵ρ＝2cosθ－2sinθ，∴ρ2＝2ρcosθ－2ρsinθ.由于ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得x2＋y2－2x＋2y＝0.∴圆C在直角坐标系中的标准方程为(x－)2＋(y＋1)2＝4.(2)∵点A的极坐标为(，2π)，∴点A的直角坐标为(cos2π，sin2π)，即(，0)．圆心C(，－1)为线段AB的中点，故点B的直角坐标为(，

52、－2)．∵圆C的参数方程为(θ为参数)，P为圆C上任意一点，∴设点P的坐标为(＋2cosθ，－1＋2sinθ)，则

53、PA

54、＋

55、PB

56、＝＋＝＋＝＝.当sinθ＝0时，(

57、PA

58、＋

59、PB

60、)max＝＝2.∴

61、PA

62、＋

63、PB

64、的最大值为2.二、教师备用例题例1.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，它与曲线C：(y－2)2－x2＝1交于A、B两点．(1)求

65、AB

66、的长；(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系中，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离．解：(1)把直线的参数方程对应的坐标代入曲线

67、方程，化简得7t2－12t－5＝0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝，t1t2＝－.所以

68、AB

69、＝

70、t1－t2

71、＝5＝.(2)易得点P在平面直角坐标系下的坐标为(－2，2)，根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为＝.所以由t的几何意义可得点P到M的距离为

72、PM

73、＝·＝.例2.直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的方程为ρ＝4cosθ，直线l的方程为(t为参数)，直线l与曲线C的公共点为T.(1)求点T的极坐标；(2)过点T作直线l′，l′被曲线C截得的线段长为2，求直

74、线l′的极坐标方程．解：(1)曲线C：ρ＝4cosθ化为直角坐标方程为x2－4x＋y2＝0.将代入上式并整理得t2－4t＋12＝0.解得t＝2.所以点T的坐标为(1，)．其极坐标为.(2)设直线l′的方程为y－＝k(x－1)，即kx－y＋－k＝0.由(1)得曲线C是以(2，0