平面问题极坐标例题

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1、平面问题的极坐标解答基本方程厚壁筒问题锲形体与半无限平面体圆孔孔边应力集中1、基本方程直角坐标与极坐标的关系xyo位移分量的关系问题：逆关系？应力分量的关系平衡微分方程微元体的取法应力的正负号切应力互等三个几何方程三个物理方程应力函数与用应力分量表示的变形协调方程(不计体力时）Where结论不计体力时，在极坐标中求解平面问题，就是要找到一个应力函数，且按它求得的应力分量满足应力边界条件，对多连体，还需满足位移单值条件。2厚壁筒问题对受内压和外压的厚壁筒这类轴对称问题，应力、应变分布对称于圆筒的中心轴线，任一点位移只有径向分量和z方向分量，与角度无关。且由于垂直于o

2、z轴的平面变形后仍为平面，固u只与ρ有关，w只与z有关。应变分量为应力分量为：应力分量与角度无关平衡方程只有一个用位移分量表示求出C1，C2为待定常数，由边界条件确定，为此，先求出应力分量边界条件ab3半无限平面体问题-锲形体xyF应力函数应力分量边界条件：如何写？常数A由脱离体平衡条件确定：yFaaY方向合力自动满足X方向合力：x半无限平面体问题yxF应力分量用直角坐标系表示用x,y表示为：相应的位移按下列步骤求出：（2）代入几何方程，（1）由物理方程求形变对第一式积分，求出，含；对第二式积分，求出，含；由对称条件，代入第三式，分开变量，求出和，得（3）求刚体位

3、移H,I,K。x向无约束条件,I不能确定。因刚体位移不能确定，用相对沉陷表示：此解答用于基础梁问题。地基一般为平面应变问题，故应取（4）半平面体表面的沉陷,M点为为基点,s>>。思考题1、试考虑书中的应力解答(4-22)具有下列特点：在图示直径为OA=D的圆上，如图，yxoFDAB都等于3、试考虑在下图中，当的边界上有均布压力q作用时，如何用量纲分析方法假设应力的函数形式？2、试考虑在下图中，o点有外力偶M作用时，如何用量纲分析方法假设应力的函数形式？（答案：）（答案：）M4坝体应力xyoM分别写出直角坐标系与极坐标系下的边界条件液体密度：坝体材料密度：极坐标直

4、角坐标5圆孔孔边应力集中xy2aqq工程结构中常开设孔口最简单的为圆孔。本节研究‘小孔口问题’，应符合（1）孔口尺寸＜＜弹性体尺寸，孔口引起的应力扰动局限于小范围内。（2）孔边距边界较远（＞1.5倍孔口尺寸）孔口与边界不相互干扰。当弹性体开孔时，在小孔口附近，将发生应力集中现象。1.带小圆孔的矩形板，四边受均布拉力q，图(a)。内边界条件为，将外边界改造成为圆边界，作则有利用圆环的轴对称解答，取且R＞＞r，得应力解答：2.带小圆孔的矩形板，x,y向分别受拉压力，图(b)。所以应力集中系数为2。内边界条件为最大应力发生在孔边，作圆，求出外边界条件为用半逆解法求得的应

5、力解答为：在孔边，，最大、最小应力为，应力集中系数为。3.带小圆孔的矩形板，只受x向均布拉力q。应用图示叠加原理（此时令）得应力解答:讨论：（1）孔边应力，最大应力3q，最小应力-q。（2)y轴上应力，可见，距孔边1.5D处，由于孔口引起的应力扰动<5%。（3）x轴上应力，同样，距孔边1.5D处，由于孔口引起的应力扰动<5%。4.小孔口的应力集中现象（1）集中性--孔口附近应力>>远处的应力，孔口附近应力>>无孔时的应力。（2）局部性--应力集中区域很小，约在距孔边1.5倍孔径（D）范围内。此区域外的应力扰动，一般<5%。（3）凹角的角点应力高度集中，曲率半径愈小

6、，应力愈大。因此，工程上应尽量避免接近直交的凹角出现。如正方孔的角点，角点曲率半径5.一般小孔口问题的分析：（1）假设无孔，求出结构在孔心处的、、。（2）求出孔心处主应力（3）在远处的均匀应力场作用下，求出孔口附近的应力。为便于工程上的应用，下图为远处为(压应力场)作用下，椭圆类孔口的应力分布情况。-43/2ba11-2.2312/3-1101-31例题1试考察应力函数能解决图中所示弹性体的何种受力问题？yxaa0解：本题应按逆解法求解。首先校核相容方程，是满足的。然后，代入应力公式，求出应力分量：再求出边界上的面力：读者可由此画出边界上的面力分布。半平面体表面

7、受有均布水平力q，试用应力函数求解应力分量。例题2解：首先检验，已满足。由求应力，代入应力公式得再考察边界条件。注意本题有两个面,即，分别为面。在面上，应力符号以正面正向、负面负向为正。因此，有代入公式，得应力解答，设半平面体在直边界上受有集中力偶，单位宽度上的力矩为M，试求应力分量。例题3（2）将代入相容方程，得（1）应比应力的长度量纲高2次幂，可假设。删去因子，得一个关于的常微分方程。令其解为，代入上式，可得到一个关于的特征方程，其解为于是得的四个解；前两项又可以组合为正弦、余弦函数。由此得本题中结构对称于的轴，而是反对称荷载，因此，应力应反对称于轴，为的奇

8、函数，从而