平面问题的极坐标解答（习题）

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1、平面问题的极坐标解答（习题讲解）习题4-1试导出位移分量的坐标变换式Suv习题4-2设有内径为a而外径为b的圆筒受内压力q，试求内半径及外半径的改变，并求圆筒厚度的改变。解：轴对称问题的径向位移公式（平面应变）：对于圆筒轴对称问题，有ur不随变化，即又由位移单值条件，有常数A、B由应力边界条件确定。应力分量：边界条件：习题4-3设有刚体，具有半径为b的圆柱形孔道，孔道内放置一外半径为b而内半径为a的圆筒，受内压力q，试求圆筒壁的应力。解：刚体边界条件：代入边界条件，有将常数A、C代入，有将常数A、

2、C代入，有刚体习题4-4矩形薄板受纯剪，剪力集度为q，如图所示。如果离板边较远处有一小圆孔，试求孔边的最大和最小正应力。45°解：xyrxyr(a)由图（a）给出的孔边应力结果：得：习题4-5楔形体在两侧受有均布剪应力q，如图所示。试求其应力分量。xyOqq解：（1）应力函数的确定由因次分析法，可知代入相容方程：得到：（2）应力分量的确定xyOqq由对称性，应为的偶函数；应为的奇函数，因而有，（3）由边界条件确定常数边界条件：代入，有：代入应力分量式，有xyOqq代入应力分量式，有习题4-

3、6三角形悬臂梁在自由端受集中荷载P，如图所示。试用公式（4-21）求任一铅直截面上的正应力和剪应力，并与材料力学中的结果对比。xyOP解：由密切尔（J.H.Michell）解答，得由应力分量的坐标变换式：（4-21）——密切尔（J.H.Michell）解答由坐标变换式：x材料力学结果：截面弯矩xyOP截面惯性矩截面正应力——弹性力学结果两者结果相差较大。习题4-7曲梁在两端受相反的两个力P作用，如图所示。试求其应力分量。xyrabOPP解：（1）应力函数的确定分析：任取一截面，截面弯矩为将其代入相容

4、方程：（a）上述欧拉方程的解：（b）代入应力函数为（c）（2）应力分量的确定（d）边界条件：代入应力分量得：端部条件（右端）：代入剪应力分量得：（f）联立求解式（e）、（f），得：xyrabOPP（e）自然满足（d）（d）其中，代入应力分量式（d），有：（f）xyrabOPP习题4-8设有无限大的薄板，在板内的小孔中受有集中力P，如图所示。试用如下应力函数求其应力分量。解：（1）应力分量提示：须要考虑位移单值条件。（2）确定常数r取一半径为r的圆板为隔离体，其上受力如图。由圆板的平衡，得代入应力分量

5、，有r代入应力分量，有恒等式（3）由位移单值条件确定常数A由物理方程与几何方程：r其中：应力分量：积分得：代入：将ur代入积分得：将uru代入r,要使上式对任意的r、成立，有其中：L为常数。（a）（b）求解式（a），有（c）将式（b）变为：（d）（d）求解式（b），有（e）（f）将代入u,有由位移单值条件，有代入应力分量：r得到：习题4-9半平面在其一段边界上受法向分布载荷作用q,如图所示。试证半平面体中直角坐标应力分量为：（叠加法）qxyOP证法1:aaqxyOPaaxyOaaqPxyO

6、aaqP（叠加法）证法1:分析思路：xyOqPqxyP求解步骤：由楔形体在一面受均布压力问题的结果：（4-25）xyOqP（由应力分量的坐标变换）——应力分量的直角坐标形式xyOaaqPy→y+axyOqPxyOaaqPxyOaaq0PxyOqPy→y－axyOaaq0Pq0xyOPaa（积分法）证法2:qxyOPyx利用半限平面边界上作用法向集中力P的结果，有：由图中的几何关系，有：（1）将以上关系式代入式（1），有qxyOPyx（2）（1）（3）qxyOPyx（3）积分上式，有：(a)(b)PP

7、(c)a补充题xyOMP列写图示问题的边界条件xyOMP试证明：补充题满足极坐标下平衡微分方程（4-1）补充题证明极坐标系下应变协调方程可表示为:轴对称情况下：补充题设弹性体受径向和环向常体力：作用，试证明下列应力分量可作为极坐标下平衡微分方程（4-1）的一个特解：证明:（4－1）代入极坐标下的平衡微分方程:显然，有:（1）表明式（1）为方程（4-1）的一个特解。在弹性体受径向和环向常体力：作用下，下列应力分量可否为某个问题的可能解？思考题：（2）答案：不能成为某个问题的解。为什么？有一薄壁圆筒的平

8、均半径为R，壁厚为t，两端受相等相反的扭矩M作用。现在圆筒上发现半径为a的小圆孔，如图所示，则孔边的最大应力如何？最大应力发生在何处？p2a有一薄壁压力容器，受内压p作用，其平均半径为R，壁厚为t。现在容器壁上发现一半径为a的小圆孔，如图所示，则孔边的最大应力如何？最大应力发生在何处？补充题1.补充题2.