高考专题19 不等式选讲（命题猜想）高考数学（理）---精校解析Word版

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1、高考专题数学精练【命题热点突破一】含绝对值的不等式的解法例1、（2018年全国Ⅱ卷理数）[选修4－5：不等式选讲]设函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）,(2)【解析】（1）当时，可得的解集为．（2）等价于．而，且当时等号成立．故等价于．由可得或，所以的取值范围是．【变式探究】【2017课标3，理23】已知函数f（x）=│x+1│–│x–2│.（1）求不等式f（x）≥1的解集；【答案】(1)；(2)【变式探究】【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）,选修4—5：不等式选讲已知函数.（I）在答题卡

2、第（24）题图中画出的图像；（II）求不等式的解集．【答案】（I）见解析（II）【解析】⑴如图所示：⑵,当,,解得或,当,,解得或或当,,解得或,或综上,或或,,解集为【变式探究】已知函数f(x)＝

3、2x－a

4、＋

5、x＋1

6、.(1)当a＝1时，解不等式f(x)<3；(2)若f(x)的最小值为1，求a的值．解：(1)因为f(x)＝

7、2x－1

8、＋

9、x＋1

10、＝且f(1)＝f(－1)＝3，所以f(x)＜3的解集为{x

11、－1＜x＜1}．(2)

12、2x－a

13、＋

14、x＋1

15、＝

16、x－

17、＋

18、x＋1

19、＋

20、x－

21、≥

22、1＋

23、＋0＝

24、1＋

25、，当且仅当(x＋1)(x－)≤

26、0且x－＝0时，取等号．所以

27、1＋

28、＝1，解得a＝－4或0.【特别提醒】解含有绝对值的不等式的基本解法是分段去绝对值后，转化为几个不等式组的解，最后求并集得出原不等式的解集．【变式探究】已知函数f(x)＝2

29、x＋2

30、－

31、x－a

32、(a∈R)．(1)当a＝4时，求不等式f(x)≤0的解集；(2)当a>－2时，若函数f(x)的图像与x轴所围成的封闭图形的面积不超过54，求a的最大值．解：(1)当a＝4时，f(x)≤0，即2

33、x＋2

34、－

35、x－4

36、≤0，即2

37、x＋2

38、≤

39、x－4

40、，两边平方得4x2＋16x＋16≤x2－8x＋16，即x2＋8x≤0，

41、解得－8≤x≤0，即不等式f(x)≤0的解集为[－8，0]．(或者分段去绝对值求解)(2)当a>－2时，f(x)＝令f(x)＝0，解得x1＝－4－a，x2＝，f(x)的图像与x轴的交点为A(－4－a，0)，B(，0)，f(x)在(－∞，－2]上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(－2)＝－(a＋2)．记C(－2，－(a＋2))．f(x)的图像与x轴围成以A，B，C为顶点的三角形，其面积为×[－(－4－a)]×

42、－(a＋2)

43、＝，根据已知得≤54，解得－11≤a≤7，又a>－2，所以－2

44、命题热点突破二】不等式的证明例2、【2017课标II，理23】已知。证明：（1）；（2）。【答案】(1)证明略；(2)证明略。【解析】（1）（2）因为所以，因此a+b≤2.【变式探究】已知函数，为不等式的解集．（Ⅰ）求；（Ⅱ）证明：当时，．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.【解析】（I）当时，由得解得；当时，；当时，由得解得.所以的解集.（II）由（I）知，当时，，从而，因此【变式探究】[2015·全国卷Ⅱ]设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：(1)若ab>cd，则＋>＋；(2)＋>＋是

45、a－b

46、<

47、c－d

48、的充要条件．证明：

49、(1)(＋)2＝a＋b＋2，(＋)2＝c＋d＋2，由题设a＋b＝c＋d，ab>cd，得(＋)2>(＋)2，因此＋>＋.(2)(i)若

50、a－b

51、<

52、c－d

53、，则(a－b)2<(c－d)2，即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.由(1)得＋>＋.(ii)若＋>＋，则(＋)2>(＋)2，即a＋b＋2>c＋d＋2.因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2，因此

54、a－b

55、<

56、c－d

57、.综上，＋>＋是

58、a－b

59、<

60、c－d

61、的充要条件．【特

62、别提醒】证明不等式的基本方法有综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等．不等式的性质和重要不等式是证明其他不等式的主要工具，要特别注意柯西不等式的应用．【变式探究】(1)已知a，b都是正实数，求证：＋≥2－2.最小值必为与之一，所以且，得.所以的取值范围为.【变式探究】已知函数，为不等式的解集．（Ⅰ）求；（Ⅱ）证明：当时，．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.【解析】（I）当时，由得解得；当时，；当时，由得解得.所以的解集.（II）由（I）知，当时，，从而，因此【变式探究】已知函数f(x)＝的定义域为R.(1)求实数m的取值范围；(2)若

63、m的最大值为n，当正数a，b满足＋＝n时，求7a＋4b的最小值．解：(1)因为该函数的定义域为R，所以

64、x＋1

65、＋

66、x－3

67、－m≥0恒成立．设函数g(x)＝

68、x＋1

69、＋

70、x－3

71、，则m不大于函