第23节正弦定理和余弦定理地应用

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1、实用文案第三章三角函数、解三角形第八节正弦定理和余弦定理的应用测量中的有关几个术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360°方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α例：(1)北偏东α：(2)南偏西α：1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为

2、α＝β.(　　)(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.(　　)(3)若点P在点Q的北偏东44°，则点Q在点P的东偏北46°.(　　)(4)方位角大小的范围是，方向角大小的范围是.(　　)答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×2.为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测量A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得标准文档实用文案BC＝50m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°.可以计算出A，B两点的距离为(　　)A．50m　　　　　　B．50mC．25mD.m解析：选A　由题意知∠CAB＝180°－

3、∠ABC－∠BCA＝30°，由正弦定理得＝，所以AB＝＝＝50(m)．3.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，则电视塔的高度为(　　)A．10mB．20mC．20mD．40m解析：选D　设电视塔的高度为xm，则BC＝x，BD＝x.在△BCD中，由余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos120°，即x2－20x－800＝0，解得x＝－20(舍去)或x＝40.故电视塔的高度为40m.4．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏

4、东60°，且AC＝BC，则点A在点B的________方向上．解析：如图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°.∴点A在点B的北偏西15°.答案：北偏西15°标准文档实用文案　　　　利用正弦、余弦定理解决高度问题是高考考查的一个方面.以实际问题情景为载体考查学生应用知识解决问题的能力.考查频率一般，试题难度中等.[典题领悟](2018·衡水模拟)如图，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王向前走了1200m到达M

5、处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，则电视塔CD的高度为________m.[思维路径](结论)求CD→放在△ACD中求解→在Rt△ACD中知∠DAC→(关键点)需再知AC→在△ACM中，易知两角与一边，用正弦定理可解得．解析：在△ACM中，∠MCA＝60°－15°＝45°，∠AMC＝180°－60°＝120°，由正弦定理得＝，即＝，解得AC＝600.在△ACD中，∵tan∠DAC＝＝，∴DC＝600×＝600.答案：600[解题师说]求解高度问题的3个注意点(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(

6、它是在水平面上所成的角)是关键．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．[冲关演练](2018·大连大联考)为了测量某新建的信号发射塔AB的高度，先取与发射塔底部B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BDC＝60°，∠BCD＝75°，CD＝40m，并在点C的正上方E处观测发射塔顶部A的仰角为30°，且CE＝1m，则发射塔高AB＝(　　)A．(20＋1)m　　　　　　　B．(20＋1)

7、mC．20mD．(40＋1)m标准文档实用文案解析：选A　如图，过点E作EF⊥AB，垂足为F，则EF＝BC，BF＝CE＝1，∠AEF＝30°.在△BCD中，由正弦定理得，BC＝＝＝20.所以EF＝20，在Rt△AFE中，AF＝EF·tan∠AEF＝20×＝20，所以AB＝AF＋BF＝20＋1(m)．　　　　测量距离问题是解三角形实际应用中的考查内容之一，题型主要是选择题、填空题，难度一般.,常见的命题角度有：(1)两点都不可到达；(2)两点不相通的距离；(3)两点间可视但有一点不可到达.[题点全练]角度(一)　两点都不可到达1.如图，A，B两点在河的

8、同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，