《3.1 空间中向量的概念和运算》同步练习

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1、《3.1空间中向量的概念和运算》同步练习　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，则等于(　　)．A.b＋cB.c－bC.b－cD.b＋c解析　如图，在△ABC中，＝＋.又＝2，∴＝.∵＝－＝b－c.∴＝＋＝c＋(b－c)＝b＋c.答案　A2．若a，b均为非零向量，则a·b＝

2、a

3、

4、b

5、是a与b共线的(　　)．A．充分不必要条件　　　　　B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件解析　a·b＝

6、a

7、

8、b

9、cos〈a，b〉＝

10、a

11、

12、b

13、⇔cos〈a，b〉＝1⇔〈a，b〉＝0，当a与

14、b反向时，不能成立．答案　A3．已知

15、a

16、＝2，

17、b

18、＝3，a，b＝60°，则

19、2a－3b

20、等于(　　)．A.B．97C.D．61解析　

21、2a－3b

22、2＝4a2＋9b2－12a·b＝4×4＋9×9－12×

23、a

24、×

25、b

26、cos60°＝97－12×2×3×＝61.所以

27、2a－3b

28、＝.答案　C4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，化简向量表达式＋＋＋的结果为________．解析　＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝0.答案　05．a，b是两个非零向量，现给出以下命题：①a·b>0⇔a，b∈；②a·b＝0⇔a，b＝；③a·b<0

29、⇔a，b∈；④

30、a·b

31、＝

32、a

33、

34、b

35、⇔a，b＝π.其中正确的命题有________．解析　利用向量数量积公式可对以上四个命题的真假作判断．∵a，b为非零向量，∴

36、a

37、≠0，

38、b

39、≠0.又∵a·b＝

40、a

41、

42、b

43、cosa，b且0≤a，b≤π，于是a·b>0⇔cosa，b>0⇔a，b∈；a·b＝0⇔cosa，b＝0⇔a，b＝；a·b<0⇔cosa，b<0⇔a，b∈.因此，命题①②③均为真命题．∵

44、a·b

45、＝

46、a

47、

48、b

49、⇔

50、cosa，b

51、＝1⇔a，b＝0或π.∴

52、a·b

53、＝

54、a

55、

56、b

57、⇔a

58、，b＝π不正确，即命题④为假命题．答案　①②③6．设A是△BCD所在平面外的一点，G是△BCD的重心．求证：＝(＋＋)．证明　　如图所示，连结BG，延长后交CD于E，由G为△BCD的重心，知＝.∵E为CD的中点，∴＝＋.＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋[(－)＋(－)]＝(＋＋)．7．已知空间四边形ABCD，连结AC、BD，设M、G分别是BC、CD的中点，则MG－AB＋AD等于(　　)．A.B．3C．3D．2解析　－＋＝－(－)＝－＝＋2＝3.答案　B8．如图，已知空间四边形OABC，其对角线为AC、OB，M、N分别是OA、BC的中点，点G

59、是MN的中点，则OG等于(　　)．A.OA＋OB＋OCB.(OA＋OB＋OC)C.(OA＋OB＋OC)D.OB＋OA＋OC答案　B9．已知

60、a

61、＝3，

62、b

63、＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，m⊥n，则λ＝________．解析　由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，即a2＋λb2＋(λ＋1)a·b＝0.∴(3)2＋42·λ＋(λ＋1)·3×4×cos135°＝0.解得λ＝－.答案　－10．已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对

64、角线AC1的长为________．解析　∵AC1＝＋＋AA1∴ACＫ＝(AB＋＋)2＝ABＫ2＋ADＫ2＋AAＫ＋2AB·AD＋2AB·AA1＋2AD·AA1＝1＋1＋1＋2(cos60°＋cos60°＋cos60°)＝6，∴

65、AC1

66、＝.答案　11．已知正四面体OABC的棱长为1.求：(1)OA·OB；　(2)(OA＋OB)·(CA＋CB)；(3)

67、OA＋OB＋OC

68、.解　如右图所示．(1)OA·OB＝

69、OA

70、·

71、OB

72、·cos∠AOB＝1×1×cos60°＝.(2)(OA＋OB)·(CA＋CB)＝(OA＋OB)·(OA－OC＋O

73、B－OC)＝(OA＋OB)·(OA＋OB－2OC)＝12＋1×1×cos60°－2×1×1×cos60°＋1×1×cos60°＋12－2×1×1×cos60°＝1.(3)

74、OA＋OB＋OC

75、＝＝＝.12．(创新拓展)如右图，已知E是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱C1D1的中点，试求向量与DE所成角的余弦值．解　设正方体的棱长为m，AB＝a，AD＝b，＝c，则

76、a

77、＝

78、b

79、＝

80、c

81、＝m.a·b＝b·c＝c·a＝0.又∵＝＋＝AB＋AD＝a＋b，DE＝＋＝＋＝c＋a.∴·DE＝(a＋b)·＝a·c＋b·c＋a2＋a·b＝a2＝m2

82、.又∵

83、

84、＝m，

85、DE

86、＝m.∴cos〈，DE〉＝＝＝，∴与DE所成角的余弦值为.