2003年全国高中数学联赛试题及详细解析

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1、一、选择题(每小题6分，共36分)1．(2003年全国高中数学联赛)删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列的第2003项是(A)2046(B)2047(C)2048(D)20492．设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－y+b=0和曲线bx2+ay2=ab的图形是3．过抛物线y2=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中垂线与x轴交于点P，则线段PF的长等于(A)(B)(C)(D)84．若x∈[－，－]，则y=tan(x+)－tan(x+)+cos(x+)的最大值是(A)(

2、B)(C)(D)二．填空题(每小题9分，共54分)7．不等式

3、x

4、3－2x2－4

5、x

6、+3<0的解集是．8．设F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上一点，且

7、PF1

8、∶

9、PF2

10、=2∶1，则△PF1F2的面积等于．9．已知A={x

11、x2－4x+3<0，x∈R}，B={x

12、21－x+a≤0，x2－2(a+7)x+5≤0，x∈R}若AÍB，则实数a的取值范围是．10．已知a，b，c，d均为正整数，且logab=，logcd=，若a－c=9，则b－d=．11．将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个

13、底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于．12．设Mn={(十进制)n位纯小数0.

14、ai只取0或1(i=1，2，…，n－1)，an=1}，Tn是Mn中元素的个数，Sn是Mn中所有元素的和，则=．五、(本题满分20分)15．一张纸上画有一个半径为R的圆O和圆内一个定点A，且OA=a，折叠纸片，使圆周上某一点A¢刚好与点A重合．这样的每一种折法，都留下一条折痕．当A¢取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．加试题[来源:学§科§网](10月12日上午10:00-12:00)一、（本题50分）过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A、B，所作割线交圆

15、于C、D两点，C在P、D之间．在弦CD上取一点Q，使∠DAQ=∠PBC．求证：∠DBQ=∠PAC．二、（本题50分）设三角形的三边长分别是正整数l，m，n．且l>m>n>0．已知==，其中{x}=x－[x]，而[x]表示不超过x的最大整数．求这种三角形周长的最小值．三、（本题50分）由n个点和这些点之间的l条连线段组成一个空间图形，其中n=q2+q+1，l≥q(q+1)2+1，q≥2，q∈N．已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q+2条连线段．证明：图中必存在一个空间四边形(即由四点A、B、C、D和四条连线段AB、BC、CD、DA

16、组成的图形)．2003年全国高中数学联赛解答第一试一、选择题(每小题6分，共36分)1．删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列的第2003项是(A)2046(B)2047(C)2048(D)2049【答案】C【解析】452=2025，462=2116．在1至2025之间有完全平方数45个，而2026至2115之间没有完全平方数．故1至2025中共有新数列中的2025－45=1980项．还缺2003－1980=23项．由2025+23=2048．知选C．3．过抛物线y2=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60°的直线，若此直

17、线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中垂线与x轴交于点P，则线段PF的长等于(A)(B)(C)(D)8【答案】A【解析】抛物线的焦点为原点(0，0)，弦AB所在直线方程为y=x，弦的中点在y==上，即AB中点为(，)，中垂线方程为y=－(x－)+，令y=0，得点P的坐标为．∴PF=．选A．4．若x∈[－，－]，则y=tan(x+)－tan(x+)+cos(x+)的最大值是(A)(B)(C)(D)【答案】C【解析】令x+=u，则x+=u+，当x∈[－，－]时，u∈[－，－]，y=－(cotu+tanu)+cosu=－+cosu．在u∈[－，－]时，sin2u

18、与cosu都单调递增，从而y单调递增．于是u=－时，y取得最大值，故选C．二．填空题(每小题9分，共54分)7．不等式

19、x

20、3－2x2－4

21、x

22、+3<0的解集是．【答案】(－3，－)∪(，3)．【解析】即

23、x

24、3－2

25、x

26、2－4

27、x

28、+3<0，Þ(

29、x

30、－3)(

31、x

32、－)(

33、x

34、+)<0．Þ

35、x

36、<－，或<

37、x

38、<3．∴解为(－3，－)∪(，3)．[来源:Z+xx+k.Com]9．已知A={x

39、x2－4x+3<0，x∈R}，B={x

40、21－x+a≤0，x2－2(a+7)x+5≤0，x∈R}若AÍB，则实数a的取值范围是．【答案】－4≤a≤－1．【解析】A

41、=(1，3)；又，a≤－21－x∈(－1，－)，当x∈(1，3)时，a≥－7∈(