1983年全国高中数学联赛试题及详细解析

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1、第一试1．选择题(本题满分32分，每题答对者得4分，答错者得0分，不答得1分)⑴设p、q是自然数，条件甲：p3－q3是偶数；条件乙：p+q是偶数．那么A．甲是乙的充分而非必要条件B．甲是乙的必要而非充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件⑹设a，b，c，d，m，n都是正实数，P=+，Q=·，那么A．P≥QB．P≤QC．P

2、有A．9个B．17个C．1个D．5个⑻任意△ABC，设它的周长、外接圆半径长与内切圆半径长分别为l、R与r，那么A．l>R+rB．l≤R+rC．

3、ictransportsystem,thusprotectingtheregionalpositionandachieve⑴在△ABC中，sinA=，cosB=，那么cosC的值等于．⑵三边均为整数，且最大边长为11的三角形，共有个．⑶一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a的正三角形，这样两个多面体的内切球半径之比是一个既约分数，那么积m∙n是．5.1-9,,services,andmakethecitymoreattractive,strengtheningpublictransportinvestment,establish

4、edasthebackboneoftheurbanrailtransitmulti-level,multi-functionalpublictransportsystem,thusprotectingtheregionalpositionandachieve第二试1．(本题满分8分)求证：arcsinx+arccosx=，其中x∈[－1，1]2．(本题满分16分)函数f(x)在[0，1]上有定义，f(0)=f(1)．如果对于任意不同的x1，x2∈[0，1]，都有

5、f(x1)－f(x2)

6、<

7、x1－x2

8、．求证：

9、f(x1)－f(x2)

10、<．[

11、来源:Z+xx+k.Com]5．(本题满分18分)函数F(x)=

12、cos2x+2sinxcosx－sin2x+Ax+B

13、在0≤x≤π上的最大值M与参数A、B有关，问A、B取什么值时，M为最小？证明你的结论．5.1-9,,services,andmakethecitymoreattractive,strengtheningpublictransportinvestment,establishedasthebackboneoftheurbanrailtransitmulti-level,multi-functionalpublictranspor

14、tsystem,thusprotectingtheregionalpositionandachieve1983年全国高中数学联赛解答[来源:学+科+网]第一试1．选择题(本题满分32分，每题答对者得4分，答错者得0分，不答得1分)⑴设p、q是自然数，条件甲：p3－q3是偶数；条件乙：p+q是偶数．那么A．甲是乙的充分而非必要条件B．甲是乙的必要而非充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件⑵x=+的值是属于区间A．(－2，－1)B．(1，2)C．(－3，－2)D．(2，3)【答案】D【解析】x=log32+log

15、35=log310∈(2，3)，选D．[来源:Zxxk.Com]⑷已知M={(x，y)

16、y≥x2}，N={(x，y)

17、x2+(y－a)2≤1}．那么，使M∩N=N成立的充要条件是A．a≥1B．a=1C．a≥1D．0

18、－4≤f(3)≤15C．－1≤f(3)≤20D．－≤f(3)≤5.1-9,,services,andmakethecitymoreattractive,streng