6-1不等关系与不等式

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1、第六单元不等式6.1不等关系与不等式一、选择题1．若a>b>0，则下列不等式中一定成立的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．a＋>b＋B.>C．a－>b－D.>解析：∵a>b>0，∴>，∴a＋>b＋.答案：A2．下列命题正确的是(　　)A．若ac＞bc⇒a＞bB．若a2＞b2⇒a＞bC．若＞⇒a＜bD．若＜⇒a＜b解析：对于A，若c＜0，其不成立；对于B，若a、b均小于0或a＜0，其不成立；对于C，若a＞0，b＜0，其不成立；对于D，其中a≥0，b＞0，平方后显然有a＜b.答案：D3．设a＝sin15°＋cos

2、15°，b＝sin16°＋cos16°，则下列各式正确的是(　　)A．a＜＜bB．a＜b＜C．b＜a＜D．b＜＜a解析：a＝sin15°＋cos15°＝sin60°，b＝sin16°＋cos16°＝sin61°，∴a＜b，排除C、D两项．又a≠b，∵＞ab＝sin60°·sin61°＝sin61°＞sin61°＝b，故a＜b＜成立．答案：B4．已知x＞y＞z，且x＋y＋z＝0，下列不等式中成立的是(　　)A．xy＞yzB．xz＞yzC．xy＞xzD．x

3、y

4、＞z

5、y

6、解析：由已知3x＞x＋y＋z＝0,3z＜x＋y＋z＝0，∴x＞0，z＜0.由得xy＞xz

7、.答案：C二、填空题5．下列四个不等式：①a＜0＜b；②b＜a＜0；③b＜0＜a；④0＜b＜a.其中能使＜成立的充分条件有______．解析：＜⇔＜0⇔b－a与ab异号，①②④能使b－a与ab异号．答案：①②④6．设a＞1且m＝loga(a2＋1)，n＝loga(a－1)，p＝loga(2a)，则m、n、p的大小关系为________．解析：∵a2＋1＞2a(a＞1)，∴loga(a2＋1)＞loga(2a)．又∵a－1－2a＝－a－1＜0，∴a－1＜2a，∴loga(a－1)＜loga2a.∴m＞p＞n.答案：m＞p＞n7．a、b、c、d均为实数，使不

8、等式>>0和ad0，∴＋＞a＋b.9．设m∈R，a＞b＞1，f(x)＝，比较f(a

9、)与f(b)的大小．解答：f(a)－f(b)＝－＝.∵a＞b＞1，∴b－a＜0，a－1＞0，b－1＞0，∴＜0.当m＞0时，＜0，f(a)＜f(b)；当m＜0时，＞0，f(a)＞f(b)；当m＝0时，＝0，f(a)＝f(b)．10．设a＞0，且a≠1，P＝loga(a3－1)，Q＝loga(a2－1)，试比较P与Q的大小．解答：∵P＝loga(a3－1)，Q＝loga(a2－1)，∴a>0，a3－1>0，a2－1>0，∴a>1.又∵(a3－1)－(a2－1)＝a2(a－1)>0，∴a3－1>a2－1，∴loga(a3－1)>loga(a2－1)．即P>Q

10、.1．(2009·全国Ⅱ)设a＝lge，b＝(lge)2，c＝lg，则(　　)A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．c＞a＞bD．c＞b＞a解析：0＜lge＜1，即0＜a＜1；b＝(lge)2＝a2＜a；c＝lg＝lge＝a＜a，又b＝(lge)2＜lg·lge＝lge＝c，因此b＜c＜a.答案：B2．设x1、x2是区间D上的任意两点，若函数y＝f(x)满足f()≤成立，则称函数y＝f(x)在区间D上下凸．(1)证明：函数f(x)＝x＋在区间(0，＋∞)上下凸；(2)若函数y＝f(x)在区间D上下凸，则对任意的x1，x2，…，xn∈D有f()≤.试根据下凸函数

11、的这一性质，证明：若x1，x2，…，xn∈(0，＋∞)，则(x1＋x2＋…＋xn)(＋＋…＋)≥n2.证明：(1)设x1>0，x2>0，则f()－[f(x1)＋f(x2)]＝＋－(x1＋＋x2＋)＝－(＋)＝＝≤0，∴f()≤[f(x1)＋f(x2)]．由定义可知f(x)＝x＋在区间(0，＋∞)上下凸．(2)由(1)可知f(x)＝x＋在(0，＋∞)上下凸，根据性质，有＋≤，∴≤(＋＋…＋)，*∵x1，x2，…，xn∈(0，＋∞)，∴x1＋x2＋…＋xn>0，故*式可化为(x1＋x2＋…＋xn)(＋＋…＋)≥n2.