不等关系与不等式

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1、第1讲　不等关系与不等式【2014年高考会这样考】1．考查不等式的基本性质常与求函数的定义域、判断不等关系、不等式的恒成立和同解变形等问题结合在一起．2．考查充分、必要条件的判断，含参不等式成立的条件，命题的真假判断，大小比较等问题．考点梳理两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a－b＞0⇔_____；a－b＝0⇔_____；a－b＜0⇔_____.1．两个实数大小关系的比较a＞ba＝ba＜b(1)对称性：如果a>b，那么b__a.(2)传递性：如果a>b，b>c，那么a__c.(3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c.(4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac__bc；如果a>b，

2、c<0，那么ac__bc.(5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c__b＋d.(6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac__bd.(7)可乘方性：如果a>b>0，那么an__bn(n∈N，n≥2)．2．不等式的性质<>>><>>>3．不等式的一些常用性质＜＞＜＜＜一种方法待定系数法：求代数式的范围时，先用已知的代数式表示目标式，再利用多项式相等的法则求出参数，最后利用不等式的性质求出目标式的范围．两点提醒(1)不等式的性质分为“双向性”与“单向性”两个方面，单向性主要用来证明不等式；双向性是解不等式的基础，因为解不等式要求的是同解变形．(2)运用不等式的性质时，不要忽视

3、不等式性质满足的条件．【助学·微博】A．ad＞bcB．ac＞bdC．a－c＞b－dD．a＋c＞b＋d解析由不等式性质知：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d.答案D考点自测1．已知a＞b，c＞d，且c，d不为0，那么下列不等式成立的是()．2．已知a－b，∴2－a>2－b.答案CA．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析a＞bac2＞bc2，∵当c2＝0时，ac2＝bc2；反之，ac2＞bc2⇒a＞b.答案B3．已知a，b，c∈R，则“a＞b”是“ac2＞bc2”的()．A．a＞b＋1B．a＞b－1C．a2＞

4、b2D．a3＞b3解析A项：若a＞b＋1，则必有a＞b，反之，当a＝2，b＝1时，满足a＞b，但不能推出a＞b＋1，故a＞b＋1是a＞b成立的充分而不必要条件；B项：当a＝b＝1时，满足a＞b－1，反之，由a＞b－1不能推出a＞b；C项：当a＝－2，b＝1时，满足a2＞b2，但a＞b不成立；D项：a＞b是a3＞b3的充要条件，综上知选A.答案A4．(2011·全国)下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是()．[审题视点]作差比较，再构造完全平方式．考向一　比较大小【例1】►已知a，b，c是实数，试比较a2＋b2＋c2与ab＋bc＋ca的大小．比较大小的方法常采用作差法与作商法，若是

5、选择题、填空题可以用特值法．A．MNC．M＝ND．不确定解析法一(作差法)M－N＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a2－1)(a1－1)，∵a1，a2∈(0,1)，∴a2－1<0，a1－1<0，∴(a2－1)(a1－1)>0，∴M－N>0，即M>N.【训练1】已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是()．答案BA．0B．1C．2D．3考向二　不等式性质的简单应用A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件答案(1)C(2)C在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等

6、式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假．A．0B．1C．2D．3答案D[审题视点]思路1：用f(－1)，f(1)整体表示f(－2)；思路2：把a，b用f(－1)，f(1)表示；思路3：用线性规划知识求解．考向三　不等式性质的综合应用【例3】►已知函数f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4.求f(－2)的取值范围．∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.由a＜f(x，y)＜b，c＜g(x，y)＜d，求F(x，y)的取值范围，可利用待定系数法解决，即

7、设F(x，y)＝mf(x，y)＋ng(x，y)，用恒等变形求得m，n，再利用不等式的性质求得F(x，y)的取值范围．【命题研究】通过近三年的高考试题分析，对不等式的性质考查主要是比较大小问题，以及与命题、充要条件等结合在一起．题型多以选择题、填空题为主，难度不大，属低中档题．方法优化9——灵活掌握不等关系与比较大小的方法【真题探究】►(2012·辽宁)若x∈[0，＋∞)，则下列不等式恒成立的是()