对“几何直观”概念的几点辨析

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1、对“几何直观”概念的几点辨析一、几何直观的含义《标准》指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题.借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果.几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用.”著名数学家徐利治先生也有过对几何直观的描述：“几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系，产生对数量关系的直接感知.”[1]也有学者这么描述：“几何直观是一种思维活动，是人脑对客观事物及其关系的一种直接的识别或猜想的心理状态.”[2]从这些描述中，我们可以有以下的认识：◆几

2、何直观是一种运用图形认识事物的能力[3]，或者说是一种解决数学问题的思维方式.◆这种能力可外化为一种在解决某些数学问题时的方法，这种方法区别于其他方法的典型特征在于它是以几何图形为工具的——即“几何”两字的意义.◆用这种方法解决问题，不是运用几何中常用的论证方法，而是通过经验、观察、想象等途径，直观地感知问题的结果或方向——即“直观”两字的意义.例如，三年级学生要学习同分子分数大小比较，这个知识相对比较抽象，学生较难理解.此时，学生如果能主动地采取画出（或想到）以下几何图形（图1）的方式，然后通过观察（或想象）图形的特点及联系，那么就能

3、直观地解决问题，并理解“分子相同的分数，分母小的反而大”的道理.学生如果具备这种解决问题的思维方式，掌握这样的方法，我们就可以说学生有几何直观的能力.二、几何直观与数形结合在理解几何直观意义的过程中，教师们最大的困惑就是难以将几何直观与数形结合清晰地区别开来.比如说，上文所举的分数大小比较时用几何图形来思考的例子，在以前，我们一直将其视为用数形结合思想来解决问题的典型.而如今，这样的观念要调整，数形结合变成了几何直观，这就难免让人产生疑惑：数形结合与几何直观，区别到底在哪里？近期，笔者参与的或了解到的一些以几何直观为话题的教研活动，都呈

4、现出了一个共同之处：教师呈现的所谓几何直观的例子，都是以前所讲的数形结合的例子.教师们更有这样的认识：几何直观，无非是数形结合的“同名词”，或者可能只是数形结合的“升级版”而已教师们对此的不解，也表现为“用到了几何图形，就是体现了几何直观”这样的想法.当然，笔者所言的这些教研活动，大多是很基层的，或许只是代表了部分一线普通教师的认识.但是，这足以说明对数形结合与几何直观作出区分是非常必要的.什么是数形结合？数形结合，是一种重要的数学思想方法，也是解决数学问题的有效策略.它是指解决数学问题时，可借助于“形”的直观来理解抽象的“数”，或反过

5、来运用“数”与“式”的描述来刻画“形”的特征.[4]数形结合最基本的形式为“以形助数”和“以数解形”.如小学数学中的分数应用题，我们运用画线段图来分析其中的数量关系，这样的情况就可叫做“以形助数”.而我们在直角坐标系中，用数对来描述图形的变化（如平移、旋转），或计算两点之间的距离等，这样的情况则可叫做“以数解形”.“以形助数”，是在发挥“形”所具有的直观特点，来降低“数”的抽象度；而“以数解形”，则是在利用“数”的精确性，来准确刻画“形”，让“形”得以量化.如此，直观与抽象相互配合，取长补短，从而顺利、有效地解决问题.[5]如果用一个不

6、太恰当的比喻来形容数形结合的特点，它就好比是架设在“数”与“形”之间的一条双向通道，起着由此及彼、相互促进的作用.我们再来看几何直观.从几何直观的概念可知，它是指“利用图形描述和分析数学问题”.那么，我们不得不产生这样的理解：几何直观就是用“形”来解决数学问题.尽管这个“数学问题”可能并不仅仅是“数”，可以是“形”或者其他数学问题.但不管怎样，如果与数形结合做个对比，那么它就只能算是一条由“形”出发的单向通道而已.在小学数学中，因为“以数解形”的例子极少，所以就造成了教师们谈及数形结合时，都是举了单向的由“形”出发解决“数”的例子.如此

7、一来，我们自然就会遇到这样的情况：数形结合的例子是“以形助数”，几何直观的例子也是“以形助数”，在小学中，两者所举的例子似乎是一样的.或许就是因为这样的原因，曾有专家提出：在小学数学中，不必区分数形结合和几何直观.这样的观点，笔者觉得也不无道理.当然，尽管有这样的观点，但并不是说几何直观就是数形结合的下位概念.笔者觉得，如果我们要将几何直观与“以形助数”作区别的话，那么就必须要抛开表面的相似，而去找到两者关键的区别.在笔者看来，几何直观的内涵最重要之处是“直接感知”（即徐利治先生所下定义中的用词）.具体地说，数形结合的“以形助数”，的确

8、是借助于“形”来分析“数”，但是，这个“形”需要我们相对规范地得出，解释的过程更是要借助于“形”的细节严谨地开展，是带有初步的演绎推理的成分（已类似于证明）.而几何直观，也是在用“形”，但这个“形”，可以是