试题选讲人口模型

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1、人口模型人口的增长是当前世界上引起普遍关注的问题，我们经常在报刊上看见关于人口增长的预报，说到本世纪末，或下世纪中叶，全世纪人口将达到多少多少亿。你可能注意到不同报刊对同一时间人口的预报在数字上常有较大的差别，这显然是由于用了不同的人口模型计算的结果。先看一种最简单的计算方法。要预报未来若干年譬如2000年的人口，最重要的影响因素自然是今年的人口和今后这些年的增长率（即人口出生率减去死亡率），根据这两个数据进行人口预报是十分容易的。例如据我国国家统计局1990年10月30日发表的公报，1990年7月1日我国人口总数为11.6亿，过去8年的

2、平均增长率为14.8‰。如果今后的年增长率保持这个数字，那么很容易算出，1年后我国人口为11.6%(1+0.0148)=11.77（亿），10年后即2000年将为（亿）。这种算法用式子表示也十分简单。记今年人口为x0，年后人口为，年增长率为,则预报公式为（1）显然，这个公式的基本前提是年增长率r保持不变。这个条件在什么情况下才成立，如果不成立又该怎么办。历史上，人口模型的发展过程回答了这个问题。早在18世纪人们就开始进行人口预报工作了，一二百年来发展了许多模型。本书只介绍其中最简单的两种。指数增长模型（马尔萨斯人口模型）英国科学家马尔萨斯

3、（Malthus1766-1834）根据百余年的人口统计资料，于1789年提出了著名的人口指数增长模型。这个模型的基本假设是：人口的增长率是常数，或者说，单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比。记时刻的人口为，当考察一个国家或一个地区的人口时，是很大的整数。为了利用微积分这一数学工具，将视为连续、可微函数。记初始时刻（t＝0）的人口为，人口增长率为，是单位时间内的增量与的比例系数。根据是常数的基本假设，时间内人口的增量为于是满足如下的微分方程：年实际人口指数增长模型阻滞增长模型（）（）误差（％）（）误差（％）17903.918005.3

4、18107.27.41.418209.610.04.29.71.0183012.913.76.213.00.8184017.118.79.417.41.8185023.225.610.323.0-0.9186031.435.010.830.2-3.8187038.647.823.838.1-1.3188050.265.530.549.9-0.6189062.989.642.462.4-0.8190076.0122.561.276.50.7191092.0167.682.191.6-0.41920106.5229.3115.3107.00.

5、51930123.2122.0-1.01940131.7135.93.21950150.7148.2-1.71960179.3158.8-11.41970204.0167.6-17.81980226.5（2）由这个线性常系数微分方程容易解出（3）表明人口将按指数规律无限增长。将t以年离散化，(3)式表明，人口以为公比的等比数列增长。因为这时表示年增长率，通常，所以可用近似关系将（3）式写作（4）(1)式与(4)式比较可知，前面给出的预报公式(1)不过是指数增长模型离散形式的近似表示。由(3)（或(2)）式给出的模型，与19世纪以前欧洲一些

6、地区的人口统计数据可以很好地吻合。一些人口增长率长期稳定不变的国家和地区用这个模型进行预报，结果也令人满意。但是当人们用19世纪以后(表4-1美国的实际人口与按两种模型计算的人口的比较)许多国家的人口统计资料与指数增长模型比较时，却发现了相当大的差异。表4-1列出了美国19世纪、20世纪的人口统计数据与这个模型的比较结果。表中第3列是用（3）式计算的结果，其中为1970年的实际人口，以10年为单位，10年增长率是由和1800年的实际人口，用（3）式确定出来的。显然，用这个模型预报的结果远远超过了实际人口的增长。引起误差的原因是10年增长率

7、估计过高。按表中第2列给出的实际人口可以算出，19世纪100年和20世纪前80年的10年增长率分别是0.266和0.137，远小于1790到1800年的增长率0.307。这个事实对是常数的基本假设提出了异议。人们还发现，在地大人稀的加拿大领土上，法国移民后代的人口比较符合指数增长模型，而同一血统的法国本土居民人口的增长却远远低于这个模型。产生上述现象的主要原因是，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口继续增长的阻滞作用越来越显著。如果当人口较少时（相对于资源而言）人口增长率还可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量后，增长率就会

8、随着人口的继续增加而减少。许多国家人口增长的实际情况完全证实了这点。读者不妨利用表4-1第2列给出的数据计算一下美国人口每10年的增长率，可以知道大致是逐渐下降的。当然，由于从欧洲大批移民或战