合能力题(题型预测范例选讲)选讲：第26讲建构数列模型的应用性问题(含详解)

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1、数学高考综合能力题选讲26層瀚蜀切KS凹⑥应剧？S何题题型预测数列作为特殊的函数，在高小数学中占有相当更要的位宜，涉及实际应用的问题广泛而多样，如：增长率、银行信贷等.解答这一类问题，要充分应用观察、归纳、猜想的手段,注意其间的递推关系，建立出等差、等比、或递推数列的模型.建立数列的递推关系来解题将有可能成为鬲考命题革新的一个方向.范例选讲例1・某县位于沙漠边缘，当地居民与风沙进行着艰苦的斗争，到2000年底全县的绿地已占全县总面积的30%•从2001年起，市政府决定加人植树造林、开辟绿地的力度，则每年有16%的原沙漠地带变成了绿地，但同时，原有绿地的4%又被侵蚀，变成了沙漠.(I

2、)在这种政策之下，是否有可能在将来的某一年，全县绿地面积超过80%?(II)至少在多少年底，该县的绿地面积才能超过全县总面积的60%?讲解：本题为实际问题，首先应该读懂题意，搞清研究对象，然后把它转化为数学问题.不难看出，这是一道数列型应用问题.因此，我们可以设：全县面积为1,记2000年底的全县绿地面积占总面积的百分比为勺，经过n年后全县绿地面积占总面积的百分比为色，则我们所要冋答的问题就是：(I)是否存在自然数〃，使得色＞80%?(II)求使得q”〉60%成立的最小的自然数n为了解决这些问题，我们可以根据题意，列出数列｛%｝的相邻项Z间的函数关系，然后由此递推公式出发，设法求出

3、这个数列的通项公式.由题可知：a.=30%=—,010afl+=(1_4%)°”+16%(1_)=£%+善44所以，当时，a=—ax+一,两式作差得：525an+~an=-(an-an-)<4•4）<5v25丿又Q]-d()411—Q（）H—CIq=d（）=八"255°10所以，数列匕-％｝是以4-兔=丄为首项，以牛为公比的等比数列.1所以,an=（色一Gli）+（4li-色一2）+・・・+@1-d（））+d（）=w(1~(5r)+2=l丄(纤—4105255由上式可知：对于任意nwN，均有an<-・即全县绿地面积不可能超过总面积的80%.342(II)令^>

4、,得(l)M<

5、I,由指数函数的性质可知：g(n)=(-r随〃的增大而单调递减，因此，我们只需从〃=0开始验证，直到找到第一个使得(-)w<-的自然数n即为所求.42验证可知：当〃=0,1,2,3,4时,均冇>-,而当〃二5时，49(_)〃=0.32768<-,55由指数函数的单调性可知：当/1>5时，均有(-)?,<-・55所以，从2000年底开始，5年后，即2005年底，全县绿地而积才开始超过总面积的60%.点评：(II)屮，也可通过估值的方法来确定〃的值.例2.某人计划年初向银行贷款10万元用于买房.他选择10年期贷款，偿述贷款的方式为：分10次等额归还，每年一次，并从借后次年年初开始归述，

6、若10年期贷款的年利率为4%,且毎年利息均按复利计算(即本年的利息计入次年的木金生息)，问每年应还多少元(精确到1元)？讲解：作为解决这个问题的第一步，我们首先需要明确的是：如果不考虑其它因素，同等款额的钱在不同时期的价值是不同的•比如说：现在的10元饯，其价值应该大于1年后的10元钱.原因在于：现在的10元钱，在1年的时间内要产生利息.在此基础上，这个问题，冇两种思考的方法：法1.如果注意到按照贷款的规定，在贷款全部还清时，10万元贷款的价值,与这个人还款的价值总额应该相等.则我们可以考虑把所冇的款项都转化到同一时间(即贷款全部付清时)去计算.10万元，在10年后(即贷款全部付清

7、时)的价值为105(1+4%)'°元.设每年还款X元.则第1次偿还的X元，在贷款全部付清时的价值为x(l+4%)9；第2次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为x(l+4%)8；第10次偿述的x元，在贷款全部付清时的价值为兀元.于是：105X(l+4%)10=x(1+4%)9+x(1+4%)8+x(1+4%)7+-+x10410-1由等比数列求和公式可得:105xl.0410=-^—•其中1.04-11.O410=(1+0.04尸=1+10x0.04+45x0.042+120x0.043+210x0.044+…q1.4802打山105x1.4802x0.04所以，无u=123300.

8、4802法2.从另一个角度思考，我们可以分步计算.考虑这个人在每年还款后还欠银行多少钱.仍然设每年还款x元.则第一年还款后，欠银行的余额为:[105(1+4%)-/元；如果设第k年还款后，欠银行的余额为兔元,则畋=%](1+4%)-兀.不难得出:坷o=1O5X(1+4%)io-x(1+4%)9—x(1+4%)8—x(1+4%)7x另一方面，按道理，第10次还款后，这个人已经把贷款全部还清了，故有伽=0.由此布列方程，得到同样的结果.点评：存、贷款问题为典型的数列应用题