166-高中数学选修系列2选修2-2《微积分基本定理与定积分计算》教案2

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1、§3微积分基本定理与定积分计算一、目标预览1.理解并能熟练运用微积分基本定理.2.掌握定积分的常用计算方法.3.了解定积分与不等式的常用证明方法.4.了解定积分相关知识的综合应用.二、概念入门设，称函数为函数在上的变上限定积分；类似地可定义变下限定积分：.注（i）由积分的性质，的定义有意义.（ii）由积分的性质易证.三、主要事实1.微积分基本定理若，则，即，.注（i）证明由导数的定义及第一积分中值定理即得.（ii）通过微分中值定理（推论），可获得微积分基本定理如下的等价表述：若，而且，则.(iii)微积分基本定理及其等价表述沟通了不定积分与定积分、微分与积分的内在联系.

2、（iv）利用微积分基本定理及复合函数微分法可得下述的变限积分求导公式：若，、在上可微而且、，则2.第二积分中值定理（1）（旁内（Bonnet，1819-1892[法]）型第二积分中值定理）若，而且是上非负递减（相应地递增）函数，则存在使得（相应地）（2）（Werierstrass型第二积分中值定理）若，是上的单调函数，则存在使得.证（1）令，利用的可积性得再由及的单调减小性，可得再由连续函数的介值性即得.（2）当为单调递减（增）时，对应用（1）即得.3.定积分的计算（1）（牛顿——莱布尼兹公式）若，而且除有限个点外有，那么有.注（i）牛顿——莱布屁兹公式简称—公式，它是

3、微积分的核心定理，最初分别由牛顿与莱布尼兹在17世纪下半叶独立得到，柯西在19世纪初给出精确叙述与证明，黎曼在19世纪中叶给予完善，达布在1875年给出现在这种形式.（ii）证明可由积分的定义（分点包括例外点）及微分中值定理（作用在上）可推得.（2）（定积分换元积分法）如果在上有连续导数，，，，，那么有注（i）定积分换元积分公式由复合函数微分法及公式可得，而且可减弱为.进一步，定积分换元积分公式中的可减弱为，但的条件稍许加强（证明较为复杂），即有以下的命题成立：若，是一一映射而且还满足，，，那么有.（ii）定积分换元积分法实际上是不定积分第二换元积分法的直接应用.但使用

4、时有较大差别，在这里换元之后变量不需回代，但积分限要跟着更换（在去掉根号的情形下须注意函数的符号）.（iii）对应于不定积分中的第一换元法（即凑微分法），在这里可以不加变动地直接应用，而且积分限也不须作更改（即仍然采用原来的积分变量）.（3）（分部积分法）如果、具有连续的导数，那么有.注（i）分部积分可由乘积微分法则及公式直接证之.（ii）分部积分公式可连续使用次，即利用数学归纳法及分部积分公式可得下面的命题：若、具有阶连续导数，那么有.4.定积分计算中常用的几个公式（1）若，则.（2）若，则（3）若是以为周期的周期函数，则有（4）若，则.（5）若，则.证（1）令可得.

5、（2）令得.（3）令得，于是有，再令得.（4）令可得.（5）令可得及.5.带积分余项的泰勒公式若在上具有阶连续导数，那么有，即，称此为泰勒公式的积分余项.注（i）令（常数变易法），对分别应用公式及分部积分公式即获得积分余项公式的证明.（ii）对积分余项应用第一积分中值定理（在积分区间（或上不变号）可得泰勒公式的拉格朗日余项：（其中）.（iii）对积分余项应用积分平均值定理泰勒公式的柯西余项：四、例题选讲1.定积分计算例题选.例1求下列定积分（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）解（1）.（2）.（3）令，（3）（4）令，（4）.令得，于是有（4）.（5）

6、（6）（7）利用得（7）（8）利用得（8）（9）.例2（1）求（2）证明Wallis公式：.解（1），证（2）由得，由此可得，，因此.例3利用定积分求下列极限（1）（2）（3）（4）（5）解（1）（2）.（3）由可得（3）（4）由可得.因此.（5）令.因此.2.微积分基本定理应用例题选例4设，试求.解应用微积分基本定理两次可得.例5确定常数、、使得.解由可推得，由罗比塔法则及可推得，接着易求得.例6若存在，，，试求.解令，则，.例7设连续，，.试求：.解令，则于是有.两边关于求导得再令可得.例8试求可微函数使得.解先关于求导得令得再关于求导得.因而，因而.3.积分中值定

7、理应用例题选例9设在上可微，而且，（）.证明：.证令，则由条件可得，由得，于是有.例10设在上连续，而且，.证明：.证，，，在处取最大值，因而有.证例11设.证明：，例12设在上二阶可导，而且.证明：（i）；（ii）又若，则.证（i）由及得，再由得.（ii），，积分后得.例13设在上具有二阶连续函数，证明；存在使得.证令，分别求得，，在处的二阶泰勒展开式，两式相减再用微积分基本定理及连续函数的介值定理即得.例14设而且，.证明：证由条件，若，则由导出矛盾！例15设，在上单调而且可微.证明：存在使得.证令，由微积分基本定理及第一积分中值定理