高中数学选修系列选修《微积分基本定理与定积分计算》学案.doc

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1、§3微积分基本定理与定积分计算一、目标预览1.理解并能熟练运用微积分基本定理.2.掌握定积分的常用计算方法.3.了解定积分与不等式的常用证明方法.4.了解定积分相关知识的综合应用.二、概念入门设，称函数为函数在上的变上限定积分；类似地可定义变下限定积分：.注微积分基本定理及

2、其等价表述沟通了不定积分与定积分、微分与积分的内在联系.65/25

3、减<增）时，对应用<1）即得.3.定积分的计算<1）<牛顿——莱布尼兹公式）若，而且除有限个点外有，那么有.注

4、公式可得，而且可减弱为.进一步，定积分换元积分公式中的可减弱为，但的条件稍许加强<证明较为复杂），即有以下的命题成立：DXDiTa9E3d若，是一一映射而且还满足，，，那么有65/25.

5、zVD7HxA<3）<分部积分法）如果、具有连续的导数，那么有.注

6、分余项.注

7、明Wallis公式：.解<1），证<2）由得，65/25由此可得，，因此.例3利用定积分求下列极限<1）<2）<3）<4）<5）解<1）<2）.<3）由可得<3）<4）由可得.因此.<5）令65/25.因此.2.微积分基本定理应用例题选例4设，试求.解应用微积分基本定理两次可得.例5确定常数、、使得.解由可推得，由罗比塔法则及可推得，接着易求得.例6若存在，，，试求.解令，则，.例7设连续，，.65/25试求：.解令，则于是有.两边关于求导得再令可得.例8试求可微函数使得.解先关于求导得令得再关于求导得.因而，因而

8、.3.积分中值定理应用例题选例9设在上可微，而且，<）.证明：.证令，则由条件可得，由得，于是有.例10设在上连续，而且，.证65/25明：.证，，，在处取最大值，因而有.证例11设.证明：，例12设在上二阶可导，而且.证明：