第二章 第八节 幂函数与二次函数

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1、一、选择题1．已知幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f(2)＝(　　)A.　　　　　　　　　　B．4C.D.解析：设f(x)＝xα，因为图象过点，代入解析式得：α＝－，∴f(2)＝2＝.答案：C2．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是(　　)A．m＝－2B．m＝2C．m＝－1D．m＝1解析：当m＝－2时，f(x)＝x2－2x＋1，对称轴为x＝1，其图象关于直线x＝1对称，反之也成立，所以f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.答案：A3．设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是(　

2、　)A．(－∞，－3)B．(1，＋∞)C．(－3,1)D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)解析：当a<0时，a－7<1，即2－a<23.∴a>－3.∴－3b>c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是(　　)解析：∵a>b>c，且a＋b＋c＝0，∴a>0，c<0.答案：D5．若f(x)＝x2－x＋a，f(－m)＜0，则f(m＋1)的值(　　)A．正数B．负数C．非负数D．与m有关解析：法一：∵f(x)＝x2－x＋a的对称轴为x＝，而－m，m＋1关于对称，

3、∴f(m＋1)＝f(－m)＜0.法二：∵f(－m)＜0，∴m2＋m＋a＜0，∴f(m＋1)＝(m＋1)2－(m＋1)＋a＝m2＋m＋a＜0.答案：B二、填空题6．对于函数y＝x2，y＝x有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增；③它们的图象关于直线y＝x对称；④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)；⑥两个函数的图象都是抛物线型．其中正确的有________．解析：从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质去进行比较．答案：①②⑤⑥7．若x≥0，y≥0，且x＋2y＝1，那么2x＋3y2的最小值为_____

4、___．解析：由x≥0，y≥0，x＝1－2y≥0知0≤y≤，令t＝2x＋3y2＝3y2－4y＋2，∴t＝32＋.在上递减，当y＝时，t取到最小值，tmin＝.答案：三、解答题8．已知函数f(x)＝－xm，且f(4)＝－.(1)求m的值；(2)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．解：(1)∵f(4)＝－，∴－4m＝－.∴m＝1.(2)f(x)＝－x在(0，＋∞)上单调递减，证明如下：任取00，＋1>0.∴f(x1)－f(x2)>0.∴f(x1)>f

5、(x2)．即f(x)＝－x在(0，＋∞)上单调递减．9．已知二次函数f(x)的图象过点A(－1,0)、B(3,0)、C(1，－8)．(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在x∈[0,3]上的最值；(3)求不等式f(x)≥0的解集．解：(1)由题意可设f(x)＝a(x＋1)(x－3)，将C(1，－8)代入得－8＝a(1＋1)(1－3)，∴a＝2.即f(x)＝2(x＋1)(x－3)＝2x2－4x－6.(2)f(x)＝2(x－1)2－8当x∈[0,3]时，由二次函数图象知f(x)min＝f(1)＝－8，f(x)max＝f(3)＝0.(3)f(x)≥0的

6、解集为{x

7、x≤－1或x≥3}．10．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(3)[理]当a＝1时，求f(

8、x

9、)的单调区间．解：(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]，∴f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，

10、所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.(3)当a＝1时，f(x)＝x2＋2x＋3，∴f(

11、x

12、)＝x2＋2

13、x

14、＋3，此时定义域为x∈[－6,6]，且f(x)＝∴f(

15、x

16、)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．