第四章：平面向量、数系的扩充与复数的引入

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1、五年高考真题分类汇编：平面向量、数系的扩充与复数的引入一．选择题1.（2015新课标全国卷I，理7）设为所在平面内一点，则（）（A）(B)（C）(D)【解析】选A由题知=，故选A.2.（2015山东高考，理4）已知菱形的边长为，,则（）（A）（B）（C）（D）【解析】选D因为3.（2015陕西高考，理7）对任意向量，下列关系式中不恒成立的是（）A．B．C．D．【解析】选B.因为，所以选项A正确；当与方向相反时，不成立，所以选项B错误；向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C正确；，所以选项D正确．4.(2015四川高考，理7)

2、设四边形ABCD为平行四边形，，.若点M，N满足，，则（）（A）20（B）15（C）9（D）6【解析】选C.，所以5.(2015重庆高考，理6)若非零向量a，b满足

3、a

4、=

5、b

6、，且（a-b）（3a+2b），则a与b的夹角为　　　　（　　）A、B、C、D、6.(2015安徽高考，理8)是边长为的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论正确的是（）（A）（B）（C）（D）【解析】选D.如图，由题意，，则，故错误；，所以，又，所以，故错误；设中点为，则，且，而，所以.7.(2015福建高考，理9)已知，若点是所在平面内一点，且，则

7、的最大值等于（）A．13B．15C．19D．21【解析】选A.以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，即，所以，，因此，因为，所以的最大值等于，当，即时取等号．8.（2015湖南高考，理8）已知点，，在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为（）A.6B.7C.8D.9【解析】选B9.（2015新课标全国卷I，文2）已知点，向量，则向量()（A）（B）（C）（D）【解析】选A　法一：设C(x，y)，则AC―→＝(x，y－1)＝(－4，－3)，所以从而BC―→＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．故选A.法二

8、：AB―→＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，BC―→＝AC―→－AB―→＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．故选A.10.（2015广东高考，文9）在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，，，则（）A．B．C．D．【解析】选D　由四边形ABCD是平行四边形，知AC―→＝AB―→＋AD―→＝(3，－1)，故AD―→·AC―→＝(2，1)·(3，－1)＝5.11.（2015重庆高考，文7）已知非零向量满足则的夹角为（）(A)(B)(C)(D)【解析】选C　∵a⊥(2a＋b)，∴a·(2a＋b)＝0，∴2

9、a

10、2＋

11、a·b＝0，即2

12、a

13、2＋

14、a

15、

16、b

17、cos〈a，b〉＝0.∵

18、b

19、＝4

20、a

21、，∴2

22、a

23、2＋4

24、a

25、2cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝－，∴〈a，b〉＝.12.（2015新课标全国卷I，文8）函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（）（A）（B）（C）（D）解析：选D　由图象知，周期T＝2＝2，∴＝2，∴ω＝π.由π×＋φ＝＋2kπ，得φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝，∴f(x)＝cos.由2kπ<πx＋<2kπ＋π，得2k－

26、高考，文7）设，，．若，则实数的值等于（）A．B．C．D．【解析】选A　c＝a＋kb＝(1＋k，2＋k),又b⊥c，所以1×(1＋k)＋1×(2＋k)＝0，解得k＝－.14.（2015北京高考，文6）设，是非零向量，“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A　因为a·b＝

27、a

28、

29、b

30、cos〈a，b〉，所以当a·b＝

31、a

32、

33、b

34、时，有cos〈a，b〉＝1，即〈a，b〉＝0°，此时a，b同向，所以a∥b.反过来，当a∥b时，若a，b反向，则〈a，b〉＝180°，a·b

35、＝－

36、a

37、

38、b

39、；若a，b同向，则〈a，b〉＝0°，a·b＝

40、a

41、

42、b

43、，故“a·b＝

44、a

45、

46、b

47、”是“a∥b”的充分而不必要条件．15.（2015陕西高考，文8）对任意向量，下列关系式中不恒成立的是（）A．B．C．D．【解析】选B　根据a·b＝

48、a

49、

50、b

51、cosθ，又cosθ≤1，知

52、a·b

53、≤

54、a

55、

56、b

57、，A恒成立．当向量a和b方向不相同时，

58、a－b

59、＞

60、

61、a

62、－

63、b

64、

65、，B不恒成立．根据

66、a＋b

67、2＝a2＋2a·b＋b2＝(a＋b)2，C恒成立．根据向量的运算性质得(a＋b)·(a－b)＝a2－b2，D恒成立．16.（2

68、015新课标全国卷II，理2）若为实数且，则（）A．B．C．D．【解析】选B．由已知得，所以，解得，故选B．17.（2015四川高考，理2）设i是虚数单位，则复数()（A）-i（B）-3i（C）i.（D）3i【解析】选C..18.（2015广东高考，理2）若复数(是虚数单位)