第四章　平面向量、数系的扩充与复数的引入

《第四章　平面向量、数系的扩充与复数的引入》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第四章　平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念名称定义向量既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)零向量长度为零的向量叫做零向量，其方向是任意的，零向量记作0单位向量长度等于1个单位的向量平行向量表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这两个向量叫做平行向量，平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行相等向量长度相等且方向相同的向量相反向量长度相等且方向相反的向量2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三

2、角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)

3、λa

4、＝

5、λ

6、

7、a

8、；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.1．作两个向量的差时，

9、要注意向量的方向是指向被减向量的终点；2．在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个；3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系．[试一试]1．若向量a与b不相等，则a与b一定(　　)A．有不相等的模　　　　B．不共线C．不可能都是零向量D．不可能都是单位向量答案：C　2．若菱形ABCD的边长为2，则

10、－＋

11、＝________.解析：

12、－＋

13、＝

14、＋＋

15、＝

16、

17、＝2.答案：21．向量的中线公式若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则＝(＋)．2．三点共线等价关系A，P，B三点共线⇔＝λ(λ≠

18、0)⇔＝(1－t)·＋t(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R)⇔＝x＋y(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)．[练一练]1．D是△ABC的边AB上的中点，则向量等于(　　)A．－＋B．－－C．－D．＋答案：A　2．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.解析：由题意知a＋λb＝k[－(b－3a)]，所以解得答案：－考点一向量的有关概念1.给出下列命题：①若

19、a

20、＝

21、b

22、，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD

23、为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是

24、a

25、＝

26、b

27、且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的序号是(　　)A．②③　　　　　　　　　B．①②C．③④D．④⑤解析：选A　①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵＝，∴

28、

29、＝

30、

31、且∥，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则∥且

32、

33、＝

34、

35、，因此，＝.③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴

36、a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.④不正确．当a∥b且方向相反时，即使

37、a

38、＝

39、b

40、，也不能得到a＝b，故

41、a

42、＝

43、b

44、且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．⑤不正确．考虑b＝0这种特殊情况．综上所述，正确命题的序号是②③.故选A.2．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝

45、a

46、a0；②若a与a0平行，则a＝

47、a

48、a0；③若a与a0平行且

49、a

50、＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是(　　)A．0B．1C．2D．3解析：选D　向量是既有大小又有方向的量，a与

51、a

52、a0的模相同，但方向

53、不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－

54、a

55、a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.[类题通法]平面向量中常用的几个结论(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时不要把它与函数图像的平移混为一谈．(3)是与a同向的单位向量，－是与a反向的单位向量．考点二向量的线性运算[典例]　(1)如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋＝(　　)A．0　　　　　　B．C．D．(2)(201

56、3·江苏高考)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．[解析]　(1)如图，∵在正六边形ABCDEF中，＝，＝，∴＋＋＝＋＋＝＋＝＋＝.(2)由题意＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋，所以λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝.[答案]　(1)D　(2)若(2)条件变为：若＝