2011高考数学课下练兵：导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例

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1、第二章第十二节导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例课下练兵场命题报告难度及题号知识点容易题(题号)中等题(题号)稍难题(题号)函数的单调性与导数1、34、6、10函数的极值与导数2、7函数的最值与导数5、8、911生活中的优化问题12一、选择题1.(2009·广东高考)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)A.(－∞，2)　　　　　　B.(0,3)C.(1,4)D.(2，＋∞)解析：f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)>0，解得x>2.答案：D2.已知函数f(x)的导数为f′(x)＝

2、4x3－4x，且f(x)的图象过点(0，－5)，当函数f(x)取得极大值－5时，x的值应为(　　)A.－1B.0C.1D.±1解析：可以求出f(x)＝x4－2x2＋c，其中c为常数.由于f(x)过(0，－5)，所以c＝－5，又由f′(x)＝0，得极值点为x＝0和x＝±1.又x＝0时，f(x)＝－5，故x的值为0.答案：B3.若函数f(x)＝ax3－3x在(－1,1)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)A.a＜1B.a≤1C.0＜a＜1D.0＜a≤1解析：∵f′(x)＝3ax2－3，由题意f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立.若a≤0，显然有f′

3、(x)＜0；若a＞0，由f′(x)≤0得－≤x≤，于是≥1，∴0＜a≤1，综上知a≤1.答案：B4.若函数y＝f(x)的导函数在区间上是先增后减的函数，则函数y＝f(x)在区间上的图象可能是(　　)解析：依题意，f′(x)在上是先增后减的函数，则在f(x)的图象上，各点的切线的斜率先随x的增大而增大，然后随x的增大而减小，观察四个选项中的图象，只有选项C满足要求.答案：C5.函数f(x)＝ex(sinx＋cosx)在区间上的值域为(　　)A[]B()CD()解析：f′(x)＝ex(sinx＋cosx)＋ex(cosx－sinx)＝excosx，0≤

4、x≤时，f′(x)≥0，∴f(x)是上的增函数，∴f(x)的最大值为f()＝f(x)的最小值为f(0)＝，∴f(x)在上的值域为[]答案：A6.已知函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当x∈(－，)时，f(x)＝x＋sinx，则(　　)A.f(1)0恒成立，所以f(x)在(－，)上为增函数，f(2)＝f(π－2)，

5、f(3)＝f(π－3)，且0<π－3<1<π－2<，所以f(π－3)0)在

6、9.给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′.若f″(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数.以下四个函数在(0，)上不是凸函数的是　　　　.(把你认为正确的序号都填上)①f(x)＝sinx＋cosx；②f(x)＝lnx－2x；③f(x)＝－x3＋2x－1；④f(x)＝xex.解析：对于①，f″(x)＝－(sinx＋cosx)，x∈(0，)时，f″(x)<0恒成立；对于②，f″(x)＝－，在x∈(0，)时，f″(x)<0恒成立；对

7、于③，f″(x)＝－6x，在x∈(0，)时，f″(x)<0恒成立；对于④，f″(x)＝(2＋x)·ex在x∈(0，)时f″(x)>0恒成立，所以f(x)＝xex不是凸函数.答案：④三、解答题10.(2009·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝x3－(1＋a)x2＋4ax＋24a，其中常数a>1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围.解：(1)f′(x)＝x2－2(1＋a)x＋4a＝(x－2)(x－2a).由已知a>1，∴2a>2，∴令f′(x)>0，解得x>2a或x<2，∴当x∈(－∞，2)∪(2a，＋∞)时，

8、f(x)单调递增，当x∈(2,2a)时，f(x)单调递减.综上，当a>1时，f(x)在区间(－∞，2)和(2a，＋∞)是增