2.2.1圆的方程

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1、2.2圆与方程第30课时圆的方程(1)教学目标:1.掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程;2.会用待定系数法求圆的标准方程;3.进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力,渗透数形结合思想,通过圆的标准方程解决实际问题的学习,注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力;4.通过运用圆的知识解决实际问题的学习,从而激发学生学习数学的热情和兴趣.教学重点:圆的标准方程教学过程:Ⅰ.问题情境在直角坐标系中,确定直线的基本要素是什么?圆作为平面几何中的基本图形,确定它的要素又是什么呢?什么叫圆?

2、在平面直角坐标系中,任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示,那么,原是否也可用一个方程来表示呢?如果能,这个方程又有什么特征呢?Ⅱ.建构数学1.以为圆心,为半径的圆的标准方程:.2.圆心在原点,半径为时,圆的方程则为:;3.单位圆:圆心在原点且半径为1的圆;其方程为:.注意:交代一个圆时要同时交代其圆心与半径.典型例题:例1:(1)写出圆心为,半径长为的圆的方程,并判断点,是否在这个圆上;(2)求圆心是,且经过原点的圆的方程.分析:通过圆心,半径可以写出圆的标准方程.【解】(1)∵圆心为,半径长为,∴该

3、圆的标准方程为:.把点代入方程的左边,=右边,即点的坐标适合方程,∴点是这个圆上的点;把点的坐标代入方程的左边,.即点坐标不适合圆的方程,∴点不在这个圆上.(2)法一:∵圆的经过坐标原点,∴圆的半径为:,因此所求的圆的方程为:,即.法二:∵圆心为,∴设圆的方程为,∵原点在圆上即原点的坐标满足圆方程即,所以,∴所求圆的标准方程为:.点评:本题巩固了对圆的标准方程的认识,第二小题的解题关键在于求出半径,这里提供了两种方法.例2:(1)求以点为圆心,并且和轴相切的圆的方程;(2)已知两点,,求以线段为直径的圆的

4、方程.分析:(1)已知与圆心坐标和该圆与轴相切即可求出半径.(2)根据为直径可以得到相应的圆心与半径.【解】(1)∵圆与轴相切∴该圆的半径即为圆心到轴的距离;所以圆的标准方程为:.(2)∵为直径,∴的中点为该圆的圆心即,又因为,所以,∴圆的标准方程为:.点评:本题的解题关键在于由已知条件求出相应的圆心与半径.对圆的标准方程的有一个加深认识的作用.例3:已知隧道的截面是半径为的圆的半圆,车辆只能在道路中心线的一侧行驶,车辆宽度为,高为的货车能不能驶入这个隧道?分析:建立直角坐标系,由图象可以分析,关键在于写

5、出半圆的方程,对应求出当时的值,比较得出结论.【解】以某一截面半圆的圆心为原点,半圆的直径所在的直线为轴,建立直角坐标系,如图所示,那么半圆的方程为:将代入得,即离中心线处,隧道的高度低于货车的高度,因此,该货车不能驶入这个隧道.点评:本题的解题关键在于建立直角坐标系,用解析法研究问题.思考:假设货车的最大的宽度为,那么货车要驶入高隧道,限高为多少?解:将代入得,即限高为.巩固练习:1.写出下列各圆的方程:(1)圆心在原点,半径为;(2)经过点,圆心为.【解】(1);(2).2.求以点为圆心,并且和轴相切

6、的圆的方程.【解】由题意:半径,所以圆的方程为:.3.圆的内接正方形相对的两个顶点为,,求该圆的方程.【解】由题意可得为直径,所以的中点为该圆的圆心即又因为∴,∴圆的标准方程为:.4.求过两点,,且圆心在直线上的圆的标准方程.【解】设圆心坐标为,圆半径为,则圆方程为,∵圆心在直线上,∴①又∵圆过两点,,∴②且③由①、②、③得:,∴圆方程为.思维点拔:由圆的标准方程即可写出由圆心坐标及圆的半径,反之,由圆心坐标及圆的半径即可写出圆的标准方程.在解具体的题目时,要灵活运用平面几何及前面所学直线的有关知识.课外

7、作业:1、已知圆的圆心为A(1,2),半径为2,则该圆的方程为________.解析 根据圆的标准方程得所求圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=4.答案 (x-1)2+(y-2)2=42、圆(x-1)2+y2=1的圆心到直线y=x的距离是________.解析 圆(x-1)2+y2=1的圆心为(1,0),它到直线y=x的距离是d==.答案 3、若点(1,2)在圆(x-2)2+(y+1)2=m的内部,则实数m的取值范围是________.解析 点(1,2)在圆(x-2)2+(y+1)2=m的内部,则点(1

8、,2)到圆心(2,-1)的距离小于半径,故<,解得m>10.答案 m>104、过点C(-1,1)和D(1,3),圆心在x轴上的圆的方程是________.解析 设圆心坐标为(a,0),据C(-1,1)和D(1,3)到圆心距离相等得=,解得a=2,故圆心为(2,0),半径为=.答案 (x-2)2+y2=105、已知两点P(4,9),Q(6,3),则以线段PQ为直径的圆的方程为.解析 ∵PQ为直径,∴PQ的中点M为该圆的圆心即M(

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