2.2.1圆的方程

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1、2.2圆与方程第30课时圆的方程（1）教学目标：1.掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程；2.会用待定系数法求圆的标准方程；3.进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力；4.通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣.教学重点：圆的标准方程教学过程：Ⅰ.问题情境在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？

2、在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？Ⅱ.建构数学1.以为圆心，为半径的圆的标准方程：.2.圆心在原点，半径为时，圆的方程则为：；3.单位圆：圆心在原点且半径为１的圆；其方程为：．注意：交代一个圆时要同时交代其圆心与半径．典型例题：例1：（１）写出圆心为，半径长为的圆的方程，并判断点，是否在这个圆上；（２）求圆心是，且经过原点的圆的方程．分析：通过圆心，半径可以写出圆的标准方程．【解】（１）∵圆心为，半径长为，∴该

3、圆的标准方程为：．把点代入方程的左边，＝右边，即点的坐标适合方程，∴点是这个圆上的点；把点的坐标代入方程的左边，．即点坐标不适合圆的方程，∴点不在这个圆上．（２）法一：∵圆的经过坐标原点，∴圆的半径为：，因此所求的圆的方程为：，即．法二：∵圆心为，∴设圆的方程为，∵原点在圆上即原点的坐标满足圆方程即，所以，∴所求圆的标准方程为：．点评：本题巩固了对圆的标准方程的认识，第二小题的解题关键在于求出半径，这里提供了两种方法．例2：（１）求以点为圆心，并且和轴相切的圆的方程；（２）已知两点，，求以线段为直径的圆的

4、方程．分析：（１）已知与圆心坐标和该圆与轴相切即可求出半径．（２）根据为直径可以得到相应的圆心与半径．【解】（１）∵圆与轴相切∴该圆的半径即为圆心到轴的距离；所以圆的标准方程为：．（２）∵为直径，∴的中点为该圆的圆心即，又因为，所以，∴圆的标准方程为：．点评:本题的解题关键在于由已知条件求出相应的圆心与半径．对圆的标准方程的有一个加深认识的作用．例3：已知隧道的截面是半径为的圆的半圆，车辆只能在道路中心线的一侧行驶，车辆宽度为，高为的货车能不能驶入这个隧道？分析：建立直角坐标系，由图象可以分析，关键在于写

5、出半圆的方程，对应求出当时的值，比较得出结论．【解】以某一截面半圆的圆心为原点，半圆的直径所在的直线为轴，建立直角坐标系，如图所示，那么半圆的方程为：将代入得，即离中心线处，隧道的高度低于货车的高度，因此，该货车不能驶入这个隧道．点评：本题的解题关键在于建立直角坐标系，用解析法研究问题．思考：假设货车的最大的宽度为，那么货车要驶入高隧道，限高为多少？解：将代入得，即限高为．巩固练习：1.写出下列各圆的方程：（１）圆心在原点，半径为；（２）经过点，圆心为．【解】（１）；（２）．２．求以点为圆心，并且和轴相切

6、的圆的方程．【解】由题意：半径，所以圆的方程为：．３.圆的内接正方形相对的两个顶点为，，求该圆的方程．【解】由题意可得为直径，所以的中点为该圆的圆心即又因为∴，∴圆的标准方程为：．４．求过两点，，且圆心在直线上的圆的标准方程．【解】设圆心坐标为，圆半径为，则圆方程为，∵圆心在直线上，∴①又∵圆过两点，，∴②且③由①、②、③得：，∴圆方程为．思维点拔：由圆的标准方程即可写出由圆心坐标及圆的半径，反之，由圆心坐标及圆的半径即可写出圆的标准方程．在解具体的题目时，要灵活运用平面几何及前面所学直线的有关知识．课外

7、作业：1、已知圆的圆心为A(1,2)，半径为2，则该圆的方程为________．解析　根据圆的标准方程得所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝4.答案　(x－1)2＋(y－2)2＝42、圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线y＝x的距离是________．解析　圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1,0)，它到直线y＝x的距离是d＝＝.答案　3、若点(1,2)在圆(x－2)2＋(y＋1)2＝m的内部，则实数m的取值范围是________．解析　点(1,2)在圆(x－2)2＋(y＋1)2＝m的内部，则点(1

8、,2)到圆心(2，－1)的距离小于半径，故＜，解得m＞10.答案　m＞104、过点C(－1,1)和D(1,3)，圆心在x轴上的圆的方程是________．解析　设圆心坐标为(a,0)，据C(－1,1)和D(1,3)到圆心距离相等得＝，解得a＝2，故圆心为(2,0)，半径为＝.答案　(x－2)2＋y2＝105、已知两点P(4,9)，Q(6,3)，则以线段PQ为直径的圆的方程为．解析　∵PQ为直径，∴PQ的中点M为该圆的圆心即M(