梯子的倾斜程度与正切 (2)

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1、第一章　直角三角形的边角关系1　锐角三角函数第1课时　正切素材一　新课导入设计情景导入　置疑导入　归纳导入　复习导入　类比导入　悬念激趣情景导入　千年古寺青檀寺中有一座报国塔，如图1－1－1，小明很想知道古塔的高度，但小明没有足够长的尺子，怎么办呢？于是聪明的小明想了这样一个办法：小明站在塔前A处仰望塔顶，测得仰角∠1的大小，再沿塔的方向前进50米到B处，又测得仰角∠2的大小，根据这些他就求出了塔的高度．你知道他是怎么做的吗？图1－1－1[说明与建议]说明：创设新颖的问题情境，激发学生的求知欲望，调动学生的积极性，思考除相似外能不能找出其他方法来测量塔的高度，从而导出本章新知——正切．建议：在

2、学生操作时，教师要引导学生进行思考、分析，为进一步学习积累数学活动经验．置疑导入　我们学校坐落在美丽的龙泉塔下，如图1－1－2，你能应用数学知识和适当的途径测出龙泉塔的实际高度吗？除了利用相似三角形相关知识外，你还有其他的方法吗？如图1－1－3，你会比较两个梯子哪个更陡吗？让我们带着这两个疑问进入本章的学习——直角三角形的边角关系．图1－1－2　　　　图1－1－3[说明与建议]说明：通过问题情境的创设，让学生初步感受倾斜程度在生活中的应用，调动学生的积极性，培养学生的数学建模能力．建议：可以让学生充分发挥想象，开阔思路，从理解梯子的倾斜程度谈起，思考除利用相似外还有没有其他的方法来测量塔的高度

3、，从而导出正切的相关知识，为本节课的学习做好铺垫．素材二　教材母题挖掘教材母题——教材第3页例1图1－1－4表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？4图1－1－4【模型建立】根据正切函数的定义：在Rt△ABC中，锐角A的对边与邻边的比值随着∠A的变化而变化．利用正切值的大小来判断扶梯的倾斜程度，其本质就是计算某一锐角的正切函数值．【变式变形】1.在直角三角形中，各边都扩大为原来的4倍，锐角A的正切值(B)A．扩大为原来的4倍B．不变C．缩小为原来的4倍D．改变2.在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4，则tanC＝____．3.有人说，数学家就是不用爬树或不把树砍倒就能够知道树高的人．小

4、敏想知道如图1－1－5所示的校园内一棵大树的高，她测得BC＝10米，∠ACB＝α，你能帮她算出树高AB为多少米吗？　图1－1－5[答案：10tanα]素材三　考情考向分析[命题角度1]利用正切函数求线段的长正切的定义是在Rt△ACB中，tanA＝.根据正切值，即可求出未知的线段长．例　[湖州中考]如图1－1－6，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tanA＝，则BC的长是(A)　图1－1－6A．2B．8C．2D．4[解析]∵tanA＝＝，AC＝4，∴BC＝2.故选A.[命题角度2]正切的应用——坡度坡角问题坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比，也称为坡比．其实质就是坡面与水平面所夹角的正

5、切值．因此，在解决坡度坡角问题时，一般都转化为有关正切的计算．例　[德州中考]如图1－1－7是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1∶2，则斜坡AB的长为(B)4　图1－1－7A．4米B．6米C．12米D．24米[解析]在Rt△ABC中，∵＝i＝，AC＝12米，∴BC＝6米．根据勾股定理，得AB＝＝6米．故选B.[命题角度3]在平面直角坐标系中求值在平面直角坐标系中，利用正切可以求点的坐标．关键是通过辅助线构造直角三角形，把已知的锐角放在直角三角形中，再进行求值．例　[金华中考]如图1－1－8，点A(t，3)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则t的值是(C)图

6、1－1－8A．1B．1.5C．2D．3素材四　数学素养提升甲、乙对话三角函数定义　　甲：什么叫做三角函数？它是不是三个角的函数？　　乙：三角函数是角的正弦、余弦和正切的统称，它不是三个角的函数，而是角的三种函数．　　甲：什么叫做角的正弦、余弦和正切？　　乙：要回答这个问题，必须回到直角三角形中去．你知道直角三角形吗？　　甲：你问这个干什么？谁不知道直角三角形就是指有一个角是直角的三角形呢？　　乙：因为三角函数的“老家”就是直角三角形，我们如果想认识三角函数，那么就应该到它们的“老家”去．　　甲：原来如此，那我应该对直角三角形再重新复习一下．　　乙：不用啦，下面我来问你：　　如图１，中，，的对边

7、是哪一边？它的两条边分别是什么？　　甲：这不是明摆着吗？的对边是，的两边是和．　　乙：不错，为了定义引入的需要，从现在开始我们仍然把叫做的对边，叫做斜边，而则叫做的邻边．根据这一规定，你知道的对边和邻边吗？　　甲：哪能不知道呢！的对边和邻边不就是和吗？　　乙：一点也没错，这说明直角三角形中，除了斜边不变外，对边和邻边都是相对于某个锐角而言的，而不是固定的某条边．比如在图2中，设4是直角三角形的一个