4.3.2函数的极大值和极小值

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1、导数与函数的单调性、极值、最值一、导数与函数的单调性题型一　利用导数研究函数的单调性【典例1】【2016·四川卷节选】设函数f(x)＝ax2－a－lnx，g(x)＝－，其中a∈R，e＝2.718…为自然对数的底数.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当x>1时，g(x)>0.【解析】(1)　由题意得f′(x)＝2ax－＝(x>0).当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减.当a>0时，由f′(x)＝0有x＝，当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增.(2)证明　令s(x)＝ex－1－x，则s

2、′(x)＝ex－1－1.当x>1时，s′(x)>0，所以ex－1>x，从而g(x)＝－>0.【规律方法】用导数讨论(证明)函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤：(1)求f′(x)；(2)确认f′(x)在(a，b)内的符号；(3)作出结论：f′(x)>0时为增函数；f′(x)<0时为减函数.【训练1】设f(x)＝ex(ax2＋x＋1)(a＞0)，试讨论f(x)的单调性.【解析】　f′(x)＝ex(ax2＋x＋1)＋ex(2ax＋1)＝exax2＋(2a＋1)x＋2]＝ex(ax＋1)(x＋2)www.ks5u.com版权所有@高考资源网诚招驻站老师，联系QQ

3、2355394696＝aex(x＋2)①当a＝时，f′(x)＝ex(x＋2)2≥0恒成立，∴函数f(x)在R上单调递增；②当0＜a＜时，有＞2，令f′(x)＝aex(x＋2)＞0，有x＞－2或x＜－，令f′(x)＝aex(x＋2)＜0，有－＜x＜－2，∴函数f(x)在和(－2，＋∞)上单调递增，在上单调递减；题型二　求函数的单调区间【典例2】【2015·重庆卷改编】已知函数f(x)＝ax3＋x2(a∈R)在x＝－处取得极值.www.ks5u.com版权所有@高考资源网诚招驻站老师，联系QQ2355394696(1)确定a的值；(2)若g(x)＝f(x)ex，求

4、函数g(x)的单调减区间.【解析】【规律方法】　求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f′(x)；(3)在定义域内解不等式f′(x)>0，得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f′(x)<0，得单调递减区间.易错警示　个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如函数f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(x＝0时，f′(x)＝0)，但f(x)＝x3在R上是增函数.【训练2】已知函数f(x)＝＋－lnx－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间.www.k

5、s5u.com版权所有@高考资源网诚招驻站老师，联系QQ2355394696题型三　已知函数的单调性求参数【典例3】【2017·西安模拟】已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax2＋2x(a≠0).(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在1，4]上单调递减，求a的取值范围.【解析】(1)h(x)＝lnx－ax2－2x，x>0.∴h′(x)＝－ax－2.若函数h(x)在(0，＋∞)上存在单调减区间，则当x>0时，－ax－2<0有解，即a>－有解.设G(x)＝－，所以只要a>G(x)min

6、.(*)又G(x)＝－1，所以G(x)min＝－1.所以a>－1.即实数a的取值范围是(－1，＋∞).(2)由h(x)在1，4]上单调递减，www.ks5u.com版权所有@高考资源网诚招驻站老师，联系QQ2355394696∴当x∈1，4]时，h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，(**)则a≥－恒成立，所以a≥G(x)max.又G(x)＝－1，x∈1，4]因为x∈1，4]，所以∈，所以G(x)max＝－(此时x＝4)，所以a≥－.当a＝－时，h′(x)＝＋x－2＝＝，∵x∈1，4]，∴h′(x)＝≤0，当且仅当x＝4时等号成立.(***)∴h(x)在1，4]上

7、为减函数.故实数a的取值范围是.【易错警示】(1)特称命题理解不清，不能将第(1)问转化为－ax－2<0有解，难以得到不等式(*).错求a的取值范围.(2)错误理解“f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0，且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.”导致在第(2)问中(**)处易错求h′(x)<0恒成立，另外在(***)处容易忽视a＝－进行检验.【训练3】已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围；www.ks5u.com版权所有@高考

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