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《2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 (2)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、平面向量数量积（学案）【基础知识梳理】1．两个向量的夹角已知两个非零向量a和b(如图)，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角，当θ＝0°时，a与b；当θ＝180°时，a与b；如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作.2.平面向量的数量积的定义．零向量与任一向量的数量积为_______．3.数量积的几何意义：______________________________________________________4.性质：设和都是非零向量，则①．②当与同向时，；当与反
2、向时，；特别的或．③。5.设，，则。6.平面内两点间的距离公式：。【双基自测】1．(人教A版教材习题改编)已知
3、a
4、＝3，
5、b
6、＝2，若a·b＝－3，则a与b的夹角为( )．A.B.C.D.2．(2011·广东)若向量a，b，c满足a∥b，且a⊥c，则c·(a＋2b)＝( )．A．4B．3C．2D．03．已知向量a＝(1,2)，向量b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，则实数x等于( )．A．9B．4C．0D．－44．(2011·江西)已知
7、a
8、＝
9、b
10、＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角
11、为________．5．(人教A版教材习题改编)某人先位移向量a：“向东走3km”，接着再位移向量b：“向北走3km”，则a＋b表示( )．A．向东南走3kmB．向东北走3kmC．向东南走3kmD．向东北走3km6．已知向量a＝(cosθ，sinθ)，b＝(，－1)，则
12、2a－b
13、的最大值，最小值分别是( )．A．4,0B．16,0C．2,0D．16,4【经典例题探究】【例1】►在△ABC中，M是BC的中点，
14、
15、＝1，＝2，则·(＋)＝________.[审题视点]由M是BC的中点，得＋＝2.当向量表示平
16、面图形中的一些有向线段时，要根据向量加减法运算的几何法则进行转化，把题目中未知的向量用已知的向量表示出来，在这个过程中要充分利用共线向量定理和平面向量基本定理、以及解三角形等知识．【例2】►已知
17、a
18、＝4，
19、b
20、＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角θ；(2)求
21、a＋b
22、和
23、a－b
24、.[审题视点]由平面向量数量积的运算法则得a·b的值，再求其夹角的余弦值，从而得其夹角．【例3】►已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R)．(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求
25、
26、a－b
27、.[审题视点]利用a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0及a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，求解．已知两向量垂直就是利用其数量积为零列出方程，通过解方程求出其中的参数值．在计算数量积时要注意方法的选择：一种方法是把互相垂直的两个向量的坐标求出来，再计算数量积；另一种方法是根据数量积的运算法则进行整体计算，把这个数量积的计算化归为基本的向量数量积的计算．【例4】►(2010·辽宁)平面上O，A，B三点不共线，设＝a，＝b，则△OAB的面积等于( )．A.B.C.D.[审题视点]由数量积公式求出OA与OB夹角的余
28、弦，进而得正弦，再由公式S＝absinθ，求面积．平面向量的数量积是解决平面几何中相关问题的有力工具：利用
29、a
30、可以求线段的长度，利用cosθ＝(θ为a与b的夹角)可以求角，利用a·b＝0可以证明垂直，利用a＝λb(b≠0)可以判定平行．【例5】►已知A，B，C的坐标分别为A(3,0)，B(0,3)，C(cosα，sinα)，α∈.(1)若
31、
32、＝
33、
34、，求角α的值；(2)若·＝－1，求的值解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键，准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决．【强化巩固训
35、练】1.已知，则的夹角为______________________。2.已知，则k等于___________.3.已知，则=___________________。4.在ΔABC中，若,则ΔABC的形状是___________________。5.已知，是单位向量，当它们之间的夹角为时，在方向上的投影为_______。6.（1）已知，，，求的夹角。（1）设在上是否存在点M，使？若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由。
