2016年浙江省稽阳联谊学校高三4月联考数学（理）试题

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1、2016届浙江省稽阳联谊学校高三4月联考数学（理）试题理科数学第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A．B．C．D．2.下图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．3B．C．1D．3.若函数为奇函数，且，则函数的解析式可能为（）A．B．C．D．4.已知直线，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要5.已知实数满足：，则的最小值为（）A．82B．4C．D．6.已知双曲线的左焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂

2、线，垂足为，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7.已知关于的方程有实根且实根均在区间内，若，，则实数的最小值为（）A．1B．C．D．8.已知正实数满足，则的最小值为（）A．B．C．2D．第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）9.已知函数，则的最小正周期为；单调减区间为.10.定义一种新运算“*”，对自然数满足以下等式：（1）1*1=1；（2），则；.11.已知函数，则，若实数满足，则的最大值为.12.如图，已知正四棱锥中，，高，点是侧棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为.13.如图，在平行四边形中，点为边的中点

3、，与交于点，若，则；若点是内部（包括边界）一动点，且，则的取值范围为.14.如图，已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线及圆于点四点，则的最小值为.15.如图，在正方体中，，点在线段上，且，点是正方体表明上的一动点，点是空间两动点，若且，则的最小值为.三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分15分）在中，角所对的边分别为，已知.（1）求的大小；（2）若，求的最大值.17.（本小题满分15分）如图，在三棱锥中，，，，分别是线段上的点，且，平面.（1）求证：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值.18.（本小题满分1

4、5分）已知二次函数，设是函数在上的最大值.（1）当时，求关于的解析式；（2）若对任意的，恒有，求满足条件的所有实数对.19.（本小题满分15分）已知椭圆的离心率为，且过点，直线交椭圆于不同的两点，设线段的中点为.（1）求椭圆的方程；（2）当的面积为（其中为坐标原点）且时，试问：在坐标平面上是否存在两个定点，使得当直线运动时，为定值？若存在，求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由.20.（本小题满分14分）已知数列满足：，.（1）求最小的正实数，使得对任意的，恒有；（2）求证：对任意的正整数，恒有.参考答案CADBCCDA9.10.11.12.13.14.15.16.解

5、：（1）由于，则，从而，故.即，故或（舍去），由于，从而.当且仅当取等号，从而的最大值为.另解：设的外接圆半径为，则由正弦定理得：从而故的最大值为，当且仅当取等号，从而的最大值为.17.解：设为中点，为中点，以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，则设，即，从而显然，，，则要使平面，则且，即，故，从而点的坐标为，即为中点.（1）设平面的法向量，由于，，由于，则，从而，取由于，从而，从而，又平面，从而平面（2）设平面的法向量，由于，由于，则，从而，取又平面的法向量设二面角的平面角的大小为则综上所述，二面角的余弦值为.另解：取的中点，连接.（1）由于平面，则，考虑到为正三角形

6、，从而为中点.由于为中点，从而.又，从而，故为平行四边形，从而.又平面，平面，从而平面.（2）由于侧面底面，平面底面，，平面，从而平面，又平面，从而.又，从而，从而平面.又，为的中点，从而，故为二面角的平面角.又，，，从而.又二面角的平面角的补角为，二面角的余弦值为.18.（1）当时，，则在上单调递减，故在上的值域为.从而（2）函数的对称轴为，下面讨论的大小关系来确定的单调性.①当或时，在上单调，又，，不等号1,2,3取到等号的条件分别为或，从而或②当时，在上单调递增，在上单调递减，又，，ⅰ）当时，不等号1,2,3取到等号的条件分别为，故.ⅱ）当时，不等号1,2,3取到

7、等号的条件分别为，故，这与矛盾.综上所述，当且仅当，时，对任意的，恒有，故满足条件的所有实数对为.19.解：（1）由于椭圆的离心率为，则，故椭圆：又椭圆过点，从而，从而椭圆的方程为.（1）当直线的斜率存在时，设其方程为，并设，联立方程，得，则从而，从而点的坐标为由于，点到直线的距离为，则的面积由题得：，从而化简得：故，即或，又由于，从而.当时，由于，，从而即点在椭圆上.由椭圆的定义得，存在点，或，，使得为定值.20.解：（1）由于，，，…由此我们可以猜想为单调递减数列，因此我们猜测的最小值为1，下面我们证明.，故当时，数列为单调递减数列，