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1、2015-2016学年河北省唐山市迁安二中高三(上)期末数学试卷(理科) 一、选择题(共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合M={x
2、x2<3x},N={x
3、lnx<0},则集合M∩N=( )A.(﹣2,0]B.(0,1)C.(2,3]D.(﹣2,3)2.若(a﹣2i)i=b﹣i,其中a,b∈R,i是虚数单位,则复数a+bi=( )A.1+2iB.﹣1+2iC.﹣1﹣2iD.1﹣2i3.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,,则tan2B等于( )A.B.C.D.4.下列命题中的假命题是( )A.∀x∈R,2﹣
4、x+1>1B.∀x∈[1,2],x2﹣1≥0C.∃x∈R,sinx+cosx=D.∃x∈R,x2+≤15.如图为某几何体的三视图,则这个几何体的体积为( )A.B.C.D.6.现有4名同学及A、B、C三所大学,每名同学报名参加且只能参加其中一所大学的自主招生考试,并且每所学校至少有1名同学报名参考,其中同学甲不能参加A学校的考试,则不同的报名方式有( )A.12种B.24种C.36种D.72种7.若变量x,y满足约束条件,则的最大值是( )A.12B.8C.6D.48.某程序框图如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是( )A.f(x)=x2B.f(
5、x)=C.f(x)=exD.f(x)=sinx9.已知函数f(x)=Asinωx(A>0,ω>0)的部分图象如图所示,若△EFG是边长为2的正三角形,则f(1)=( )A.B.C.2D.10.已知集合M={(x,y)
6、x+y﹣2≤0,x≥0,y≥0},集合N={},若点P∈M,则P∈M∩N的概率为( )A.B.C.D.11.圆心在曲线上,且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为( )A.(x﹣1)2+(y﹣2)2=5B.(x﹣2)2+(y﹣1)2=5C.(x﹣1)2+(y﹣2)2=25D.(x﹣2)2+(y﹣1)2=2512.已知且函数y=f(x)﹣
7、x恰有3个不同的零点,则实数a的取值范围是( )A.(0,+∞)B.[﹣1,0)C.[﹣1,+∞)D.[﹣2,+∞) 二.填空题(本大题共4小题,每小题5分)13.若(1+a)n(a>0)的展开式中所有项系数和为64,且展开式的第三项等于15,则a的值为 .14.如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面是边长为2的正三角形,侧棱AA1⊥底面ABC,D为AB的中点,且A1D与底面ABC所成角的正切值为2,则三棱锥A1﹣ACD外接球的表面积为 .15.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F与双曲线的一个焦点重合,它们在第一象限内的交点为T,且TF
8、与x轴垂直,则双曲线的离心率为 .16.如图,半径为1的圆O上有定点P和两动点A、B,AB=,则的最大值为 . 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17.已知数列{an}是公差不为0的等差数列,数列{bn}是等比数列,且b1=a1=1,b2=a3,b3=a9(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)求数列{an•bn}的前n项和Sn.18.甲、乙两名运动员进行射击训练,已知他们击中目标的环数均稳定在7,8,9,10环,且每次射击成绩互不影响,射击环数的频率分布表如表:甲运动员射击环数频数频率7108109x1030y合计1001乙运动员
9、射击环数频数频率768109z0.410合计80如果将频率视为概率,回答下面的问题:(Ⅰ)写出x,y,z的值;(Ⅱ)求甲运动员在三次射击中,至少有一次命中9环(含9环)以上的概率;(Ⅲ)若甲运动员射击2次,乙运动员射击1次,用ξ表示这三次中射击击中9环的次数,求ξ的概率分布列及Eξ.19.如图四棱锥P﹣ABCD底面是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=1,,E是BC上的点,(Ⅰ)试确定E点的位置使平面PED⊥平面PAC,并证明你的结论;(Ⅱ)在条件(Ⅰ)下,求二面角B﹣PE﹣D的余弦值.20.已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.(Ⅰ
10、)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为,求△AOB面积的最大值.21.已知函数f(x)=+aln(x﹣1)(a∈R).(Ⅰ)若函数f(x)在区间[2,+∞)上是单调递增函数,试求实数a的取值范围;(Ⅱ)当x∈[2,+∞)时,求证:≤2ln(x﹣1)≤2x﹣4;(Ⅲ)求证:++…+<lnn<1++…+(n∈N*且n≥2). 请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-1:几何证明选讲]22.在△ABC中,已知CM是∠ACB的角平分线,△AMC的外接圆交BC于点N,.求证:BN=2
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