经典概率论与数理统计第5章大数定律及中心极限定理

《经典概率论与数理统计第5章大数定律及中心极限定理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第五章大数定律与中心极限定理5.1大数定律5.2中心极限定理5.1大数定律上一页下一页返回例5.1.1设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每一盏灯开灯的概率都是0.7，而假定开、关时间彼此独立，估计夜晚同时开着的灯数在6800与7200之间的概率.22、大数定律定义定义5.1.1设{Xn}为随机变量序列，若对任意的有则称{Xn}服从大数定律。定理5.1.1上一页下一页返回契比雪夫大数定律说明：在定理的条件下，当n充分大时，n个独立随机变量的平均数这个随机变量的离散程度是很小的。这意味，经过算术平均以后得到的随机变量将比较密的聚集在它

2、的数学期望的附近，它与数学期望之差依概率收敛到0.定理5.1.2上一页下一页返回或证明：设Xi表示第i次试验中事件A出现的次数，i=1,2,…,n,则X1,X2,…,Xn相互独立且均服从参数为p的(0-1)分布，故有E(Xi)=p,D(Xi)=p(1-p)i=1,2,…,n且，由契比雪夫大数定律知，对于任意的，有（贝努利大数定律）以nA是n次独立重复试验中事件A出现的次数.p是事件A在每次试验中发生的概率(00有:定理5.1.3上一页下一页返回说明：1、贝努里大数定律从理论上证明了大量重复独立试验中，事件A

3、发生的频率具有稳定性，正因为这种稳定性，概率的概念才有实际意义；2、贝努里大数定律还提供了通过试验来确定事件的概率的方法。定理5.1.4（马尔可夫大数定律）对随机变量序列{Xn}，若马尔可夫条件成立，则{Xn}服从大数定律，即对任意的，式(5.1.2)成立。例5.1.2设{Xn}为一同分布、方差存在的随机变量序列，且Xn仅与Xn-1和Xn+1相关，而与其他的Xi不相关，试问该随机变量序列{Xn}是否服从大数定律？(辛钦大数定律)设随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独立,服从同一分布，且具有数学期望E(Xi)=(i=1,2,…)，

4、则对于任意正数,有定理5.1.5上一页下一页返回5.2中心极限定理定义5.2.1若独立随机变量序列X1,X2,…,Xn,…的标准化和使得恒成立，则称随机变量序列{Yn}服从中心极限定理（TheCentralLimitTheorem）。(独立同分布的中心极限定理)设随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独立,服从同一分布,且具有数学期望和方差，E(Xk)=,D(Xk)=20(k=1,2,…).则随机变量定理5.2.1的分布函数Fn(x),对于任意x,有上一页下一页返回说明：定理5.2.1称为林德贝格——勒维(Lindeberg-

5、Levy)中心极限定理，也称为独立同分布的中心极限定理例5.2.1一个螺丝钉重量是一个随机变量，期望值是1两，标准差是0.1两.求一盒（100个）同型号螺丝钉的重量超过10.2斤的概率.(李雅普诺夫定理)设随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独立,它们具有数学期望和方差:定理5.2.2上一页下一页返回上一页下一页返回定理5.2.3上一页下一页返回例5.2.2某保险公司有10000个同龄又同阶层的人参加人寿保险，已知该类人在一年内死亡的概率为0.006，每个参加保险的人在年初付12元保险费，而在死亡时家属可向公司领得1000元。问在此

6、项业务活动中：保险公司亏本的概率是多少？保险公司获得利润不少于40000元的概率是多少？上一页下一页返回P{X>120}=1-解：设这10000人中一年内死亡的人数为X，则X~b(10000,0.006),保险公司一年收取10000×12=120000元保险费，故仅当每年死亡人数超过120人时公司才会亏本，当每年死亡人数不超过80人时公司获利不少于40000元。由此可知，所求的概率分别为P{X>120}及。上一页下一页返回