概率论与数理统计第5章大数定律和中心极限定理

《概率论与数理统计第5章大数定律和中心极限定理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第5章大数定律和中心极限定理5.1大数定律5.2中心极限定理人们在长期的实践中发现，事件发生的频率具有稳定性，也就是说随着试验次数的增多，事件发生的频率将稳定在一个确定的常数，即概率值附近．频率的稳定性是概率定义的客观基础，在第一章中我们从直观上描述了这一事实。本章将用大数定律对频率的稳定性作出理论上的说明．第5章大数定律和中心极限定理另外，在前面，我们还看到相互独立的正态随机变量的和仍是正态随机变量，本章将要介绍的中心极限定理将给出概率论中的另一个重要结果，即在相当一般的条件下，充分多个相互独

2、立的非正态随机变量（不管它们的分布如何）的和近似服从正态分布．这一事实更说明了正态分布的重要性．大数定律和中心极限定理无论在应用上还是理论上都具有极其重要的作用．第五章大数定律和中心极限定理【吸烟率调查问题】某卫生组织为确定某城市成年男子的吸烟率p，将被调查的成年男子中吸烟的频率作为p的估计，现在要保证有90%以上的把握，使得调查对象吸烟者的频率与该城市成年男子的吸烟率p之间的差异不大于5%，问至少要调查多少对象？第五章大数定律和中心极限定理5.1大数定律对某个随机变量X进行大量的重复观测，所得

3、到的大批观测数据的算术平均值也具有稳定性，由于这类稳定性都是在对随机变量进行大量重复试验的条件下呈现出来的，历史上把这种试验次数很大时出现的规律统称为大数定律．首先来引进证明大数定律所需要的预备知识——契比谢夫（Chebyshev）不等式．定理5.1设随机变量X的数学期望E(X)及方差D(X)都存在，则对于任意正数，有不等式(5.1)即(5.2)成立．称上述不等式为契比谢夫（Chebyshev）不等式．5.1大数定律证：（仅对连续型随机变量进行证明）设f(x)为X的概率密度，记E(X)=，D

4、(X)=2，则从定理中可以看出，如果D(X)越小，那么随机变量X取值于开区间(E(X)–，E(X)+)中的概率就越大，这也进一步说明方差是一个反映随机变量在其分布中心E(X)附近集中程度的数量指标，D(X)越小，X的取值越集中于E(X)附近．5.1大数定律利用契比谢夫不等式，我们可以在随机变量X的分布未知的情况下估算概率值的界限，当然这个估计是比较保守的．如果已经知道随机变量的分布，所需求的概率可以确切地计算出来，就没必要利用契比谢夫不等式来做估计了．5.1大数定律【例5-1】若某班某次考

5、试的平均分为80分，标准差为10，试估计及格率至少为多少？解：用随机变量X表示学生成绩，则数学期望E(X)=80，方差D(X)=100，所以P{60X100}P{60

6、X–80

7、<20}所以及格率至少为75%．5.1大数定律【例5-2】已知n重伯努利试验中参数p=0.75，问至少应做多少次试验，才能使试验成功的频率在0.74和0.76之间的概率不低于0.90？解：设需做n次试验，其中成功的次数为X，则X～B(n，p)，E(X)=np，D(X)=np(1–p)。因为根据契

8、比谢夫不等式应有§5.1大数定律令解得所以至少应做18750次试验．5.1大数定律定义5.1设是一随机变量序列，a是一常数，若对任意正数，有则称序列X1，X2，…，Xn，…依概率收敛于a，记为．5.1大数定律定理5.2（契比谢夫大数定律）设是相互独立，服从同一分布的随机变量序列，且具有数学期望及方差D(Xi)=2，（i=1，2，…），则依概率收敛于，即对于任意正数，有也即(n)(5.3)证：因为5.1大数定律由契比谢夫不等式可得在上式中，令，并注意到概率不能大于1，即得5.1大数定律

9、定理5.2表明，当n充分大时，随机变量序列的算术平均值接近于数学期望E(Xi)=，这种接近是概率意义下的接近．通俗地说，在定理的条件下，n个相互独立同分布随机变量的算术平均值，当n无限增大时，几乎变成了一个常数．这一定理从理论上说明了大量观测值的算术平均具有稳定性，为实际应用提供了理论依据．例如，在进行精密测量时，人们为了提高测量的精度，往往要进行若干次重复测量，然后取测量结果的算术平均值．5.1大数定律作为上述定理得特殊情况，可以得到如下重要定理：定理5.3（伯努利大数定律）设nA是n重伯努

10、利试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数，有即(5.4)证：引入随机变量Xi（i=1，2，…，n）：5.1大数定律则其中相互独立且均服从参数为p的0-1分布，即且有E(Xi)=p，D(Xi)=p(1–p)，i=1，2，…，n由定理5.2得到5.1大数定律由定理5.2得到即也即5.1大数定律伯努利大数定律表明，事件A发生的频率nA/n当n很大时依概率收敛于事件A发生的概率p．也就是说对于任意正数，只要重复独立试验的次数n充分大，事件实际上几乎是必定要发生的，即