概率论与数理统计教案 第讲 大数定律及中心极限定理

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1、概率论与数理统计教案第11讲大数定律及中心极限定理第五章大数定律及中心极限定理概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科.随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来.也就是说，要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机现象.研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究.极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种:与大数定律中心极限定理定理1(契比雪夫大数定律的特殊情况)设X1,X2,…是相互独立的随机变量序列，它们具有相同的数学期望和方差，即E(Xi)=?

2、?，D(Xi)=??2，i=1,2,…则对任意的????<0，有契比雪夫证明见书p145契比雪夫大数定律表明，当n充分大时，与??偏差很小的概率接近于1.契比雪夫大数定律给出了平均值稳定性的科学描述当n很大时，X1,…,Xn的算术平均值在概率意义下接近于它们公共的均值??设Y1,Y2,…Yn,…是随机变量序列，a是一个常数。若对任意的????<0，有则称序列Y1,Y2,…Yn,…依概率收敛于常数a.记为依概率收敛有什么性质呢?依概率收敛于有以下性质若又g(x,y)设在点(a,b)连续，则这样,上述定理1又

3、可叙述为:定理1设X1,X2,…是相互独立的随机变量序列，它们具有相同的数学期望和方差，即E(Xi)=??，D(Xi)=??2，i=1,2,…则序列依概率收敛于??，即定理2（辛钦大数定律）设X1,X2,…是独立同分布的随机变量序列，且E(Xi)=??，i=1,2,…,则对任给??><0,辛钦辛钦大数定律的证明从略辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径.定理3（伯努利大数定律）设Sn是n重伯努利试验中事件A发生的次数，p是一次试验中事件A发生的概率，则对任给的ε><0，或伯

4、努利大数定律的证明见书p146伯努利大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率Sn/n与事件A的概率p有较大偏差的概率很小.伯努利大数定律提供了通过试验来确定事件概率的方法.中心极限定理的客观背景在客观实际中有许多随机变量，它们是由大量的相互独立的随机因素的综合影响所形成的.而其中每一个别因素在总的影响中所起的作用都是微小的。该结论得益于高斯对测量误差分布的研究.这种随机变量往往近似地服从正态分布。例如：考虑炮弹的射击误差。设靶心为坐标原点，弹着点的坐标为(X,Y)，X,Y分别表示弹着点与靶

5、心的横向和纵向误差。我们来看造成误差的原因是什么？炮身在每次射击后，因震动而造成的微小偏差每发炮弹内炸药的数量和质量上的微小差异而引起的误差每发炮弹外形上的细小差别引起空气阻力不同，由此出现的误差而误差X（或Y）是这许多彼此间相互独立的随机小误差的总和，即等等许多原因，每种原因引起一个微小的误差，有的为正，有的为负，都是随机的.一般认为它服从正态分布。以下我们从数学上来研究这种随机变量之和的分布.为此,考虑这种随机变量之和的标准化变量.即考虑取值的概率.可以证明，满足一定的条件时，上述和的分布函数的极限是

6、标准正态分布.定理1（列维一林德伯格(Levy－Lindberg)）设X1,X2,…是独立同分布的随机变量序列，且E(Xi)=，D(Xi)=><0，i=1,2,…，则(证明略)当n较大时近似服从正态分布N(<0,1)另外，利用该定理，当n较大时近似服从正态分布N(n??,n??2)特别地近似服从正态分布N(??,??2/n)这表明，当n较大时，可以用正态分布N(??,??2/n)近似计算n个相互独立、同分布随机变量的算术平均值有关事件的概率定理2(棣莫佛－拉普拉斯定理）定理表明，当n较大，<0<

7、;p<1时，可以用正态分布N(np,np(1-p))近似二项分布.设随机变量服从参数n,p(<0<p<1)的二项分布，则对任意x，有(证明见书p15<0)例1见书p151例1例2见书p151例2例3见书p152例3对独立但是不同分布的随机变量序列的场合，有如下中心极限定理。定理3（Liapunov定理）见书p149这一讲我们介绍了中心极限定理中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲

8、线这一值得注意的事实.（第五章到此结束）下面讲第四，五章的习题课作业：第四章15，28第五章1，3，6，7先看一看第四章的第3,14题.1．设十只同种电器元件中有两件废品，装配仪器时，从这批元件中任取一只，若是废品，则扔掉重新任取一只，若仍是废品，则再扔掉还取一只。求：在取到正品之前，已取出的废品数X的概率分布，数学期望及方差。2．设随机变量X与Y相互独立，且X～N(1,2)，Y～N(<0,1)，求Z=2X-Y+3的概率密度。