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《线性代数(人大版)第11讲》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、线性代数第11讲§3.2n维向量空间为了深入讨论线性方程组的问题,我们来介绍n维向量空间的相关概念.一个mn矩阵的每一行都是由n个数组成的有序数组,其每一列都是由m个数组成的有序数组.在研究其它问题时也常遇到有序数组.例如平面上一点的坐标和空间中一点的坐标分别是二元和三元有序数组(x,y),(x,y,z).又如把组成社会生产的各部门的产品或劳务的数量,按一定次序排列起来,就得到国民经济各部门或劳务的有序数组.8/4/20213线性代数定义3.1n个实数组成的有序数组称为n维向量.一般用a,b,g等希腊字母表示,有时也用a,b,c,o,u,v,x,y等拉丁字母表示.
2、a=(a1,a2,,an)称为n维行向量.其中ai称为向量a的第i个分量;称为n维列向量.bi是其第i个分量.8/4/20214线性代数要把列(行)向量写成行(列)向量可用转置记号,例如可写成b=(b1,b2,,bn)T8/4/20215线性代数8/4/20216线性代数两个n维向量当且仅当它们各对应分量相等时,才是相等的.即如果a=(a1,a2,,an),b=(b1,b2,,bn)当且仅当ai=bi(i=1,2,,n)时,a=b.所有分量均为零的向量称为零向量,记为o=(0,0,,0)n维向量a=(a1,a2,,an)的各分量的相反数组成的n维向量,
3、称为a的负向量,记为-a,即-a=(-a1,-a2,,-an).8/4/20217线性代数定义3.2两个n维向量a=(a1,a2,,an)与b=(b1,b2,,bn)的各对应分量之和所组成的向量,称为向量a与向量b的和,记为a+b.即a+b=(a1+b1,a2+b2,,an+bn).由向量加法及负向量的定义,可定义向量减法:a-b=a+(-b) =(a1,a2,,an)+(-b1,-b2,,-bn) =(a1-b1,a2-b2,,an-bn)8/4/20218线性代数定义3.3n维向量a=(a1,a2,,an)的各个分量都乘以k(k为一实数)所组成的
4、向量,称为数k与向量a的乘积,记作ka,即ka=(ka1,ka2,,kan).向量的加,减及数乘运算统称为向量的线性运算.8/4/20219线性代数定义3.4所有n维实向量的集合记为Rn,我们称Rn为实n维向量空间,它是指在Rn中定义了加法及数乘这两种运算,并且这两种运算满足以下8条规律: (1)a+b=b+a(2)a+(b+g)=(a+b)+g(3)a+o=a(4)a+(-a)=o(5)(k+l)a=ka+la(6)k(a+b)=ka+kb(7)(kl)a=k(la) (8)1a=a其中a,b,g都是n维向量,k,l为实数8/4/202110线性代数8/4/20
5、2111线性代数§3.3向量间的线性关系(一)线性组合线性方程组(3.1)写成常数列向量与系数列向量如下的线性关系x1a1+x2a2++xnan=b称为方程组(3.1)的向量形式.其中都是m维向量.8/4/202113线性代数于是,线性方程组(3.1)是否有解,就相当于是否存在一组数:x1=k1,x2=k2,,xn=kn,使线性关系式k1a1+k2a2++knan=b成立.即常数列向量b是否可以表示成上述系数列向量组a1,a2,,an的线性关系式.如果可以,则方程组有解;否则,方程组无解.b可以表示成上述关系式时,称向量b是向量组a1,a2,,an的线性组
6、合,或者称b可由向量组a1,a2,,an线性表示.8/4/202114线性代数定义3.5对于给定向量b,a1,a2,,as,如果存在一组数k1,k2,,ks,使关系式b=k1a1+k2a2++ksas(3.10)成立,则称称向量b是向量组a1,a2,,an的线性组合,或者称b可由向量组a1,a2,,an线性表示.8/4/202115线性代数例如,b=(2,-1,1),a1=(1,0,0),a2=(0,1,0),a3=(0,0,1),显然b=2a1-a2+a3.即b是a1,a2,a3的线性组合,或者说b可由a1,a2,a3线性表示.8/4/202116线性
7、代数8/4/202117线性代数证:线性方程组x1a1+x2a2++xnan=b有解的充分必要条件是:系数矩阵与增广矩阵的秩相同.这就是说b可由a1,a2,,an线性表示的充分必要条件是:以a1,a2,,an为列向量的矩阵与以a1,a2,,an,b为列向量的矩阵有相同的秩.8/4/202118线性代数8/4/202119线性代数例1.任何一个n维向量a=(a1,a2,…,an)都是n维向量组e1=(1,0,0),e2=(0,1,0,,0),,en=(0,0,,0,1)的线性组合.因为a=a1e1+a2e2++anene1,e2,,en称为Rn
