学习数学要抓住问题的核心

《学习数学要抓住问题的核心》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、本文由SCIbird排版整理抓住问题的核心SCIbird说明：鉴于笔者时间和精力有限，文章小错误难免。因此笔者建议读者最好将文章中的结论动手推导一遍，相信必有收获。光看不练，等于白看。原本打算以“抓住问题的本质”为标题的，但再三斟酌之后觉得不妥，还是换成“抓住问题的核心”这个标题吧。比如，虽然可以用非常漂亮的分析方法来证明布劳威尔不动点定理，但是要想讨论不动点定理的本质，肯定要将讨论框架扩展到拓扑领域。尽管如此，这个漂亮分析证明仍然值得推荐！布劳威尔不动点定理：nnnn设D是n维单位闭球，f:DD→是连续映射，则存在xD∈，满足

2、0f()xx=.00nn在布劳威尔不动点定理的条件中，单位闭球D的凸性非常重要。比如把Dn换成单位球面S，则结论不再成立。反例是映射f()xx=−,显然映射nnf:SS→是连续映射，但没有不动点。《数学分析新讲》第三册给出了布劳威尔不动点定理的解析证明。证明的核心思想在于下面这张图nn−1如果布劳威尔不动点定理不成立，那么可以做出一个映射gD:→S满n−1n−1n足gx()=∈xxS,.这样的连续映射g称为收缩映射，S称为D的收缩核。然后证明这样的收缩核实际上不存在，从而不动点定理为真。为利用分析工具，先假设f为光滑映射。反证假

3、设f没有不动点，于是构造nn−1出光滑的收缩映射gD:→S.接着利用外微分中的Stokes公式证明这个光本文由SCIbird排版整理滑收缩映射g是不存在的。证明方法是计算两次思想，即对同一个对象用两种不同的方法计算，结果应该是一样的。否则，即产生矛盾。设ggg=(,,,)Lg，构造微分形式ω=gdg∧∧Ldg.12n12nnn−1n−1一方面，gx()=∈xS=∂D,所以

4、

5、()

6、

7、gx=∀∈1,xS，从而ωω==dd()gdgd∧∧Lg∫∫∫nnn12n∂DDD∂(,,)ggL1n==dx∧∧Ldx0∫n1nD∂(,,)xxL

8、1nn−1另一方面，由gx()=∈xxS,，直接代入，得到nωω==ddxd∧∧LxD=>vol()0∫∫∫nnn1n∂DDDnn−1这就证明了不存在光滑的收缩映射gD:→S.于是证明了当f是光滑映射时，存在不动点。对于连续映射，可以选择一个nn光滑映射序列来一致逼近。假设连续映射f:DD→没有不动点。n因为单位闭球是有界闭集（紧致性），所以连续函数

9、

10、()fxx−

11、

12、在D上一定取得正的最小值μ=−min

13、

14、()fxx

15、

16、>0.取定ε>0满足03<<=εμmin

17、

18、()

19、fxx−

20、根据魏尔斯特拉斯逼近定理，存在多项式向量函数px

21、(),使得

22、

23、()fxp−<()

24、

25、xεnn不过对于xD∈可能有px()∉D（映射到单位闭球外面）。但可以判定

26、

27、()

28、

29、px≤−+<

30、

31、()pxfx()

32、

33、

34、

35、()

36、

37、fx1+ε于是令1hx()=px()1+εnn则得到光滑映射hD:→D.再次利用含绝对值不等式，得到11

38、

39、()hxfx−=()

40、

41、

42、

43、pxfx()−=()

44、

45、

46、

47、()pxfx−−()εfx()

48、

49、11++εε12εε≤−

50、

51、()pxfx()

52、

53、+<

54、

55、()

56、

57、fx<2ε11++εε1+ε由此得到估计

58、

59、()hx−x

60、

61、≥

62、

63、xfx−−−≥()

64、

65、

66、

67、()hxf

68、x()

69、

70、3εεε−2=>0但是根据前面的结论，光滑映射h具有不动点hx()=x，矛盾！定理成立。本文由SCIbird排版整理nn−1注：《新讲》的证明是非常严格的，必须证明利用射线做出的映射gD:→S确实是光滑映射。证明请看《新讲》原文。根据经验，数学分析中很多结论往往要在后续高级课程（如复变和实变）中才能看得清问题关键所在。比如Riemann积分中的控制收敛定理（也称阿尔泽拉定理）设闭区间[,]ab上的R可积函数序列{()}fx点点收敛于某个R可积函数nf()x，即f()xf→()x。如果函数序列f()x在[,]ab上一致有

71、界，即存在M>0,nn使得

72、()

73、fxMnxa≤∀∈,,∀[,]bn恒成立。则有积分关系（积分运算与极限运算可交换）bbbblimf()xdx=fxdx()（即limoo=lim）∫∫n∫∫n→∞aann→∞aa→∞根据数学大师Lebesgue的工作，这一定理可以推广到L积分中去，一般称为Lebesgue控制收敛定理，是实变函数课程中最基本的定理了。（Lebesgue）设有限可测集E上的可测函数序列f()x满足n

74、()

75、fxMxEn≤∀,∈∀,∈Nn其中M>0为常数。如果limf()xf=()x几乎处处成立，那么f()x也是L可

76、积n的，且可以在积分号下求极限：limf()xdx=fxdx()∫∫nn→∞EE因为可测函数的极限仍然可测，所以不必像阿尔泽拉定理那样额外要求极限函数是可积的。控制收敛定理的关键在于“有限可测集E”的结构和性态特征，这在数学分析课程中，我们难以发现。但是，在实变