第7.5节刚体平面运动动力学

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1、第7.5节刚体平面运动的动力学7.5.110m搞得烟筒因底部损坏而倒下来，求其上端到达地面时的线速度。设倾倒时底部未移动。可近似认为烟筒为均质杆。解：烟筒的长度l=10m。设烟筒上端到达地面的瞬间，烟筒绕其底部的转动角速度为w。在倾倒过程中，只受重力作用，做的功为：mg×½l。由刚体定轴转动的动能定理：烟筒上端到达地面时的线速度为：7.5.2用四根质量各为m长度各为l的均质细杆制成正方形框架，可围绕其中一边的中点在竖直平面内转动，支点O是光滑的．最初，框架处于静止且AB边沿竖直方向，释放后向下摆动，求

2、当AB边达到水平时，框架质心的线速度。以及框架作用于支点的压力N．解：先求正方形框架对通过其质心且与其垂直的转轴（质心轴）的转动惯量：框架的质心位于框架的中心，即两条对角线的交点上。每根细杆对其本身的质心轴的转动惯量：，细杆的质心与框架的质心的距离为，由平行轴定理：再由平行轴定理，得框架对通过0点的转轴的转动惯量：(1)求框架质心的线速度vc框架在下摆过程中，只有重力做功，机械能守恒。选取杆AB达到水平时框架质心位置位势能零点，得：（2）求框架对支点的压力N以框架为研究对象，它受到重力Mg和支点的支撑

3、力N的作用，由质心运动定理：5取自然坐标系，t沿水平方向，n铅直向上，得投影方程：在铅直位置时，外力矩为0，故角加速度b=0，==〉Nt=07.5.3由长为l，质量各为m的均质细杆组成正方形框架，其中一角连于光滑水平转轴O，转轴与框架所在平面垂直．最初，对角线OP处于水平，然后从静止开始向下自由摆动．求OP对角线与水平成450时P点的速度，并求此时框架对支点的作用力．解：先求正方形框架对通过其质心且与其垂直的转轴（质心轴）的转动惯量：框架的质心位于框架的中心，即两条对角线的交点上。每根细杆对其本身的质

4、心轴的转动惯量：，细杆的质心与框架的质心的距离为，由平行轴定理：框架的质心距o点的距离为：，由平行轴定理得框架通过o点的转轴的转动惯量为（1）求p点的速度vp框架在下摆过程中，只有重力做功，机械能守恒。选取对角线op与水平成450角时框架质心位置为势能零点，得：（2）求框架对支点的压力N以框架为研究对象，它受到重力Mg和支点的支撑力N的作用，由质心运动定理：取自然坐标系，n沿op方向，t沿垂直于op方向，得投影方程：由定轴转动定理:57.5.4质量为m长为l的均质杆，其B端放在桌上，A端用手支住，使杆

5、成水平．突然释放A端，在此瞬时，求：(1)杆质心的加速度,(2)杆B端所受的力．解：(1)è(2)由质心运动定理：è7.5.5下面是均质圆柱体在水平地面上作无滑滚动的几种情况，求地面对圆柱体的静摩擦力.(1)沿圆柱体上缘作用以水平拉力F，柱体作加速滚动．(2)水平拉力F通过圆柱体中心轴线，柱体作加速滚动．(3)不受任何主动力的拉动或推动，柱体作匀速滚动．(4)在主动力偶矩t的驱动下加速滚动．设柱体牛径为R解：规定前进方向和顺时针方向为正方向。假设静摩擦力方向向后，其余受力情况如图所示。对每种情况，都可

6、以根据质心定理、绕质心轴的转动定理和无滑滚动条件，建立三个方程求解。⑴可求得f=-F/3,负号说明静摩擦力方向与假设方向相反，应向前。⑵可求得f=F/3,正号说明静摩擦力方向与假设方向相同，向后。⑶ac=0,f=0⑷,求得负号说明静摩擦力方向与假设方向相反，应向前。7.5.6板的质量为M，受水平力F的作用，沿水平面运动．板与平面间的摩擦系数为m．在板上放一半径为R质量为M2的实心圆柱，此圆柱只滚动不滑动．求板的加速度．解：对圆柱：5转动定理：质心运动定理：对板：质心运动定理：由于圆柱在板上只滚不滑联立

7、解得：7.5.7在水平桌面上放置一质量为m的线轴，内径为b，外径为R，其绕中心轴转动惯量为．线轴和地面之间的静摩擦系数为m.线轴受一水平拉力F，如图所示．(1)使线轴在桌面上保持无滑滚动之F最大值是多少?(2)若F和水平方向成q角，试证，cosq>b/R时，线轴向前滚动；cosq

8、轴线的转动惯量为10x10-46kg×m2．设在气体中某氧分子运动的速率为500m/s，且其转动动能为其平动动能的2/3，求这一氧分子的角速率．7.5.9，一质量为m，半径为r的均质实心小球沿圆弧形导轨自静止开始无滑滚下，圆弧形导轨在铅直面内，半径为R．最初，小球质心与圆环中心同高度．求小球运动到最低点时的速率以及它作用于导轨的正压力．解：设小球运动到最低点时，其质心速度为v，绕质心转动的角速度为ω，由机械能守恒，有无滑滚动条件：ω=v/r,代入上式，可