抽屉原理(中)

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1、抽屉原理与极端原理7一、抽屉原理美国一家杂志上曾刊登这样一副漫画：三只鸽子同时往两个鸽笼里飞。这是一副含义深刻的漫画，它有趣的揭示了抽屉原理：三只鸽子同时飞进两个鸽笼里，则一定有一只鸽笼里至少飞进两只鸽子。抽屉原理俗称鸽笼原理，最先是由19世纪的德国数学家狄利克雷(P.G.Dirichlet1805--1859)运用于解决数学问题的，所以抽屉原理又叫狄利克雷原理。1．抽屉原理（1）第一抽屉原理设有个元素分属于个集合（其两两的交集可以非空），且（均为正整数），则必有一个集合中至少有个元素。（2）第二抽屉原理设有个元素分属于个两两不相交的集合，且（均为正

2、整数），则必有一个集合中至多有个元素。（3）无限的抽屉原理设有无穷多个元素分属于个集合，则必有一个集合中含有无穷多个元素。2．平均值原理设，且，则中必有一个不大于，亦必有一个不小于；中必有一个不大于，亦有一个不小于。3．面积重叠原理个平面图形的面积分别为，将它们以任意方式放入一个面积为10▎高一·第4讲·联赛预科班·教师版▎的平面图形内。（1）若，则存在，使图形与有公共内点；（2）若，则存在一点，不属于图形中的任意一个。以上命题用反证法很容易证明，大家可以自行完成。一般来说，适合应用抽屉原理解决的数学问题具有如下特征：新给的元素具有任意性.如个苹果

3、放入个抽屉，可以随意地一个抽屉放几个，也可以让抽屉空着.问题的结论是存在性命题，题目中常含有“至少有……”、“一定有……”、“不少于……”、“存在……”、“必然有……”等词语，其结论只要存在，不必确定，即不需要知道第几个抽屉放多少个苹果.对一个具体的可以应用抽屉原理解决的数学问题还应搞清三个问题：（1）什么是“苹果”？（2）什么是“抽屉”？（3）苹果、抽屉各多少？用抽屉原理解题的本质是把所要讨论的问题利用抽屉原理缩小范围，使之在一个特定的小范围内考虑问题，从而使问题变得简单明确.用抽屉原理解题的基本思想是根据问题的自身特点和本质，弄清对哪些元素进行分

4、类，找出分类的规律.关键是构造适合的抽屉，抽屉之间可以有公共部分，亦可以没有公共部分。一般说来，数的奇偶性、剩余类、数的分组、染色、线段与平面图形的划分等，都可作为构造抽屉的依据。这一简单的思维方式在解题过程中却可以演变出很多奇妙的变化和颇具匠心的运用。抽屉原理常常结合几何、整除、数列和染色等问题出现，从小学奥数、中学奥数、IMO到Putnam都可以见到它的身影。实际应用中，抽屉原理常常与反证法结合在一起。二、极端原理让我们先看一个有趣的放硬币游戏．两人相继轮流往一张圆桌上平放一枚同样大小的硬币，条件是后放的硬币不能压在先放的硬币上，直到桌子上再也放

5、不下一枚硬币为止。谁放入了最后一枚硬币谁获胜。问：先放的人有没有必定取胜的策略？这是一个古老而值得深思的难题．当有人向一位确有才能的数学家提出这个难题时，引出了如下一段意味深长的对话：数学家：这有什么难？如果圆桌小到只能容纳一枚硬币，那么先放的人当然能够取胜。提问者：这还用你讲？简直废话！数学家：不！这是一个很重要的特殊情况，它的解决将导致一般问题的解决．提问者：怎么解决？数学家：我先将第一枚硬币放在桌子的中心，利用圆桌的对称性，我就可以获胜．不管是圆桌还是方桌，也不管是桌子有多大，只要有一个对称中心就行．数学家独具慧眼，能从一般性问题中一下子找到一

6、个极易求解的极端情形，并能将极端情形下的解法推向一般，轻而易举地解决了上述难题，而且还作了推广．这位数学家大概是这样思考的：一般性的问题比较复杂，先将其极端化，注意到所放硬币总数，取其极端情形即假设桌子小到只能放下一枚硬币，得出特殊问题的解，即先占中心者为胜．然后根据圆桌的对称性，先放者把硬币放在中心位置，若后放者把硬币放在处，则先放者把硬币放在中心位置的对称点处，这样只要后放者能放下硬币，先放者总能根据对称性，放下硬币，最后获胜．　　　　　　　　　10▎高一·第4讲·联赛预科班·教师版▎这种思考问题的方法称为极端原理.有时，我们只要抓住研究对象中

7、某些具有极端性质的事物或它们所具有的特殊性质即可达到解决问题的目的。这样一种思想方法常称为极端原理.在数学竞赛中应用较多.从问题的极端情况考虑，对于数值问题来说，就是指取它的最大或最小值；对于一个动点来说，指的是线段的端点，三角形的顶点等等。极端化的假设实际上也为题目增加了一个条件，求解也就会变得容易得多。所谓极端原理指的是直接抓住全体对象中的极端情形或它们所具有的某种极端性质加以研究、解决问题的思想方法.【例1】在一个礼堂中有名学生，如果他们中的每个人都与其中的人相识，那么可能出现这种情况：他们中的任何人中都一定有人不相识（假定相识是互相的）。【解

8、析】注意到题中的说法“可能出现……”，说明题的结论并非是条件的必然结果，而仅仅是一种可能性，因此只需要设法构