圆的相关定理

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1、圆幂定理定义　　圆幂=PO^2-R^2（该结论为欧拉公式）　　所以圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。　　相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。　　切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。　　割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B；C、D，则有PA·PB=PC·PD。统一归纳：过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D（可重合），则有PA·PB=PC·PD。相交弦定理　　圆内的两条相交弦，

2、被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等）相交弦说明　　几何语言：　　若弦AB、CD交于点P　　则PA·PB=PC·PD（相交弦定理）　　推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的例中项　　几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC^2=PA·PB（相交弦定理推论）切割线定理定义从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。是圆幂定理的一种。几何语言：　　∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线　　∴PT的平方=PA·PB（切割线定理）推论：　　

3、从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等　　几何语言：　　∵PT是⊙O切线，PBA，PDC是⊙O的割线　　∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）(割线定理）　　由上可知:PT∧2（平方）=PA·PB=PC·PD证明　　切割线定理证明:　　设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT^2=PA·PB　　证明：连接AT,BT　　∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理)∠P=∠P(公共角)　　∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似)　　则PB：PT=PT：AP即：PT^2=PB·PA割线定理定义　　

4、从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。从圆外一点L引两条割线与圆分别交于A.B.C.D则有LA·LB=LC·LD。如下图所示。(LT是切线）证明　　如图直线ABP和CDP是自点P引的⊙O的两条割线，则PA·PB=PC·PD　　证明:连接AD、BC  ∵∠A和∠C都对弧BD　　∴由圆周角定理，得∠A=∠C　　又∵∠APD=∠CPB　　∴△ADP∽△CBP∴AP:CP=DP:BP,也就是AP·BP=CP·DP切线的判定定理　　经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线几何语言：∵l⊥OA，点A在⊙O上　　∴直线l是⊙O的切

5、线（切线判定定理）切线的性质定理　　圆的切线垂直于经过切点半径　　几何语言：∵OA是⊙O的半径，直线l切⊙O于点A　　∴l⊥OA（切线性质定理）　　推论1经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心切线长定理　　从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角　　几何语言：∵直线PA、PB分别切⊙O于A、B两点　　∴PA=PB，∠APO=∠BPO（切线长定理）　　证明：连结OA、OB　　∵直线PA、PB分别切⊙O于A、B两点　　∴OA⊥AP、OB⊥PB　　∴∠OAP=∠OBP=90°　　

6、在△OPA和△OPB中：　　∠OAP=∠OBP　　OP=OP　　OA=OB=r　　∴△OPA≌△OPB（HL）∴PA=PB，∠APO=∠BPO弦切角定理　　弦切角（即图中∠ACD)等于它所夹的弧(弧AC)对的圆周角等于所夹的弧的读数的一半等于1/2所夹的弧的圆心角[注，由于网上找得的图不是很完整，图中没有连结OC]　　几何语言：∵∠ACD所夹的是弧AC∴∠ACD=∠ABC=1/2∠COA=1/2弧AC的度数(弦切角定理）　　推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等　　　几何语言：∵∠1所夹的是弧MN，∠2所夹的是PQ，弧MN=弧PQ　　∴

7、∠1=∠2　　证明：作AD⊥EC　　∵∠ADC=90°　　∴∠ACD+∠CAD=90°　　∵ED与⊙O切于点C　　∴OC⊥ED　　∴∠OCD=∠OCA+∠ACD=90°　　∴∠OCA=∠CAD　　∵OC=OA=r　　∴∠OCA=∠OAC　　∴∠COA=180°-∠OCA-∠OAC=180°-2∠CAD　　又∵∠ACD=90°-∠CAD　　∴∠ACDC=1/2∠COA∴∠ACD=∠ABC=1/2∠COA=1/2弧AC的度数弦切角概念　　顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角．它是继圆心角、圆周角之后第三种与圆有关的角．这种角必须满足三个条

8、件：　　（1）顶点在圆上，即角的顶点是圆的一条切线的切点；　　（2）角的一边和圆相交，即角的一