走出正、余弦定理运用中的“沼泽地”

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1、走出正、余弦定理运用中的“沼泽地”正、余弦定理及其应用不是太难，但是解题有-•定的技巧，学生在解题时，如果不注意审题，不注意定理的适用范围，不注意题H条件容易导致错误.本文分类剖析了解题中常出现的错谋，以达防微杜渐的目的.一、忽视三角形的性质致错3例1.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，且C=2A,a+c=,cosA=—,4求b的值。错解：在厶ABC中，由正弦定理得，一二一=——=2cosA=-,cisinAsinA2乂g+c二10,6/=4,c=6.>22_2q再由余弦定理得，cosA二d。_d=2,2bc4代入数据化简得，戸一9b+20=0,/.h=&=5・3剖

2、析：由题设cosA=—〉0,・•・角A为确定的锐角,而C=2A,4.•.角C也是确定的介J,则角B也是确定的角.乂山己知条件可得，a=4,c=6f于是满足题设的三角形应该是唯一确定的，即边b只能有一个值。故上述解答有错。正解：(接上面的解法)在厶ABC中，若b=4,由于a=4f则厶ABC为等腰三角形，且A=B.又C=2A,由A+3+C=180°知A=B=45°,C=90°,故△ABC为等腰直角三角形，由勾股定理知c=4a/2,这与求出的c=6相矛盾，故要舍去..・.b=5.从上述错解可知，在解三角形问题时，如果注意到确定三角形的条件，同吋注意到“在一个三角形中，大边对大角”的结论，往往

3、可以避免一些错误的产生.二、忽视制约条件致错例2在厶ABC中，c=a/6+V2,C=30°,求a+b的最大值.错解：VC=30°,・・・A+B=150°,B=150°-A.山正弦定理，得亠=——厶一运,sinAsin(150-A)sin30a=2(/6+V2)sinA,5=2(V6+V2)sin(150°-A).乂VsinA1,sin(150°-A)W1,・・・・•・a+bW2(76+Q+2(76+V2)=4(^6+>/2).故a+b的最大值为4(76+y/2)・剖析:错因是未弄清A与150°-A之间的关系.这里力与150°-A是相互制约的,不是相互独立的两个量，sinA与sin(1

4、50°-A)不能同时取最大值1,因此所得的结果是错谋的.正解:VC=30°,・•・A+B=150°,B=150°-A.由正弦定理，得丄=—-——=7&*.sinAsin(150-A)sin30因此d+b=2(76+V2)-[sinA+sin(l50°-A)]=(8+4VJ)・cos(A—75°)W8+4巧.:.a+b的最人值为8+4>/3.三、约分时忽视为零的条件致错例3若△ABC中满足tan士兰二口，试确定三介形的形状.2a+h错解：由正弦定理，得°.A+BA—BA-Ba-bsinA-sinBC0S?S1D2A+BA-Btan===▲小=cottan2a+bsin4+sinB“；人+

5、B八A+B222sincos22nnA—BA+BA—B即tan=cottan,222两边约去tan^-^,得cot^±^=lC.22•A+Bitnn4门兀••=—9即A+B=—9242故AABC是直角三角形.剖析：上述解法中约去tan^—时，忽视其可为零，从而导致漏解.2正解：Ttan—~—=cot"+"tan—~—,(过程同错解)222・・・ta22-1=0./A+Bcot2B为三角形的内角，得A=B；由tan—―—=0且A,23为三角形的内角,IA+Bpi由cot=1RA2得=一，贝ljA+B=-・242故△ABC是等腰三角形或直角三角形.四、思维不严密致错例4.在△ABC中，已知

6、b=2近,c=V6+V2,A=60°,求角C.错解：在厶ABC屮，由余弦定理得，a2=h2+c2-2/?ccosA=12,.-.67=273.再由正弦定理得，sinC=£sin4二后血,a4屮知角而c〉a,知C〉A,z.C=75°或105°.剖析：本题屮由计算知c>a>b.故角C为最大角，再由sinC=C似乎应该有两解.但是题目条件是所给三角形屮已知两边及夹角，这样的三角形的形状是唯一确定的.故介JC不应该冇两解。因此，上述结果冇误.下面给出以下两种正确解法.解法1：由上而的分析知角（：％△ABC中的最大角，于是角B—定是锐角，由正弦左理得,sinB=-sinA=—a2•••3=45°

7、,从而C=180°-(4+B)=75°.解法2：由余弦定理得，cos—害^耳“75。,.•.C=75°・五、隐含条件被忽视致错例5在△ABC中，若C=3B,求£的取值范围.b错解：由正弦定理可知c=Sin3Jsin3cos23+cosBsin2J魯2〃+2cos2B=4cos2B—1.bsinBsinBlilOWcos'BWl,得-1^4cos2B-1^3,故—1W£W3・b剖析：上述解法中，忽视了B的取值范围及a,b,c均为正的条件而致错.正