“由递推公式求通项”的探究式教学

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1、〃由递推公式求通项"的探究式教学•中学数学论文〃由递推公式求通项〃的探究式教学黄碧婷(华南师大附中南海实验高级中学，广东佛山528200)摘要:笔者在数列的教学中，以递推公式为主线，由易到难逐步引导学生探究求通项的常见方法，同时教学中不断地渗透归纳、类比、化归等重要思想方法。通过〃由递推公式求通项〃的探究式教学，让学生体验由特殊到一般、由简单到复杂、由具体到抽象的过程。通过本次的教学探究，学生的思维得到进一步升华,遇到较为复杂的问题不再感到畏惧,而是大胆去尝试、体验成功的喜悦。关键词:递推公式；通项；探究中图分类号:G633文献标识码：A文章编号:1005-6351(2013)-04-003

2、1-02一、已知相邻两项的递推公式,求数列的通项公式教材中指岀，递推公式也是数列的一种表示方法。在等差、等比数列的教学中,先引导学生分别用递推公式an+1・an=d和an+1二anq来描述等差、等比数列的走义，进而由递推公式推导等差数列的通项公式，然后采用类比的方法得到等比数列的通项公式。在推导等差等比数列的通项公式教学中z让学生体会归纳、猜想在得出新结论中的作用，同时弓I导学生提炼出求数列通项的思想方法:归纳法、迭代法，为进一步探究非等差等比数列的通项公式奠定基础。通过类比，学生不难掌握已知an+1・an=f(n)或an+1二an・f(n)的递推关系，求数列an通项公式的方法。下面由一个具

3、体的例子，逐步引导学生去探究递推关系形如an+l=kanH其中k,t为常数，求数列an通项公式的方法。例1:已知数列an中，al二1砂+1二2an+l,求数列an的通项公式。分析:前面介绍了归纳法和迭代法,大家先尝试一下这两种方法。:详法一：(归细法〉由s1a2«.+I,fta,«2-1,5—I一I.«<-I・…••二«»=2^-1.1£明略.鱒法：:(迭代誌)曲％，=2叭+1,知当心2时,-2u,,+l=2(2u^.4-24-1当时•也满足上式，所以."严工」・当孚生完成以上两种解法1§■引导学生仰去想考，是否还有其他的方法？容易知道•敌列｛，；」不是診差等比数列.但数列｛d.+iw?由前

4、面的结论。•二2-1■知叭“厂•学生不难发现数列｛叭+1｝兄等比数列’于尼得列如F卿扶：僻法三【由"、八=2“，*I,谢“.「卜I=2化fI♦I=2（“彳I）,故｛«.+!kB以w"为有理2为公比的卑比数列.%a,♦1=2•叫♦I=2A所求敎列｛%｝的通顼公式为“・=2-」•这时•瓏让学牛如逍解法三的本fififefl么？称为化归思忠,将非特殊数列化归为朴殊数列・2临利用公式汝就可以了.接曲继续i&冋学住：如黑没有丽面的把论•文如何去化旷I呢7胸S形如叭1■瓯和（其中&乙为常数且*/1.4/0.r#0）的谨旌公式足否町化为零Itft列来求通项公式"怎么化UI呢？类比上面何題的解答.引导学主

5、韦虑“…十小能告转化为6.1r）.（K定町以转化•则•二h—可以变回原式"，

6、=3十几变形如卜*："，!=/，（"・十I-=/,-虹驹式对WL则心-、“・故，乙亍由俎有常启恵闪列M进一步提岀：如呆将常数/换成关于n的函散式•也就£晤如g4人刀）・又诙经过怎样的转化？先转具体的例子：例2：已知数列（“.｝中•哲=3・％‘=2d.*2•3'.求数列｛叭瀚通项公式.存了前面的引导和備地•放手址孚生去尝试•探龙不同的解题思路，发现学生有如下解扶：解法一乂迭代袪〉当心2时=2(2”..：+2・I’')+2・V口2=肿・严.2・3…=2‘〈2“.+2・3」+M・V'+2・3"*2'・3a_T・3-:*

7、2V=2-*・m*2…•3*2t_:・3♦…*2'・3"'-2・3"*-2'1•伽.2・3”-3・2"因为叫・3•所以叭・2・3、-3-2-'（n>2）.肖”1时也満足就式，故・3・・3・2・（/iqV・）・無法二:（化归忠想）先假定町以转化为-・3“«2［«,…了］,化为叫,二2叫i・3”.与原式“…“”门・"对照得“・2•即o•.严2o,2・3•町以转比为u,-2-3一2

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10、「•令九=算则虬・厂虬+冷几由迭代庄求职6严斗门・L（v）''-HW・■乂“.=2、・6「所以叭=2・3—3・2"」・（下转錨33頁）评注:从以上解法来看，解法二到解法四均采用化归思想，但化归的方