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1、《经济数学基础》重难点解析第9章矩阵本章重点：1.了解或理解一些基本概念具体要求如下：(1)了解矩阵和矩阵相等的概念；(2)了解单位矩阵、数量矩阵、对和矩阵、三角形矩阵和对称矩阵的定义和性质.(3)理解矩阵可逆与逆矩阵概念，知道矩阵可逆的条件；(4)了解矩阵秩的概念；(5)理解矩阵初等行变换的概念.2.熟练掌握矩阵的加法、数乘、乘法和转置等运算，掌握这几种运算的有关性质；3.熟练掌握用矩阵的初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵、行简化阶梯形矩阵，熟练掌握用矩阵的初等行变换求矩阵的秩、逆矩阵.矩阵乘法是本章的重点Z_,在复习矩阵乘法时，要注意：矩阵乘
2、法不满足交换律，即AB=BA一般不成立(若矩阵A,B满足AB=BA,则称为可交换的).矩阵乘法不满足消去律，即巾矩阵AC=BC及矩阵CHO,不能推WA=B・但当C可逆时，AC=BC=>A=B・矩阵AhO,BhO,可能有AB=O.例1若A,B是两个刀阶方阵，则下列说法止确是().A.若AB=0,贝ijA=0或B=0B.(A-fB)2=A2+2AB+S2C.若秩(A)^0,秩(B)h0,则秩(AR)^OD.若秩(A)=n9秩(B)=n,则秩(AB)=n解选项A：人=0或3=0只是AB=0的充分条件，而不是必耍条件，故A错误;选项B：(A+B)2
3、=A2+AB+B-A+B2,矩阵乘法一般不满足交换律，即丰B・A,故B错误；选项C：由秩(4)工0,秩(B)h0,说明4,3两个矩阵都不是0矩阵，但它们的乘积有可能0矩阵,011r~00_,B=，则AB=_01__o0__00女IIA=故秩(AB)工0不一定成立，即C错误；选项D：两个满秩矩阵的乘积还是满秩的，故D正确.10=[41]1例2设矩阵A=[l-20],B=-102解因为AB=[-20]-10所以，应该填写：[41]-2例3矩阵_0A.1B.2解因为0C.3的秩是(0D.4「13-210__13-210_13-210_01100-
4、>01100T0110000100001000010001000__00-100_00000故该矩阵的秩为3.对应的阶梯形矩阵有3个非0行,正确选项是：C■360_'2-6_A=01-2,B=913-1908例4设矩阵则矩阵A与B的乘积的第3行第1列的元素的值是•解根据乘法法则可知，矩阵A与B的乘积4B的第3行第1列的元素的值是A的第3行元素与B的第1列元素的乘积之和，即3X2+(-1)X9+9X0=-3应该填写：-3例5设A是mxn矩阵,B是矩隊则运算有意义的是().A.ABrB.ABC.AJBD.ATBr解根据乘法法则可知，两矩阵相乘，只
5、有当左矩阵的行数等丁-右矩阵的列数时，它们的乘积才有意义，故矩阵人3丁有意义.正确选项是A.例6设方程XA~B=Xf如果A-InJ'逆，则X=.解由XA—B=X,得XA—X=B,X(A-I)=B故X=B(AT)T.所以，应该填写：注意：矩阵乘法中要区分“左乘”与“右乘”，若答案写成它是错误的.1-32例7.设矩阵A"=-301求矩阵A.1"11-3-12解因为［A~l/]=-30111-1'1-32100_T0-9731004-3-101100_010001j-32100'—>0—1111204-3-101_10-1-2-3-6_100113
6、_0-11112->010237_001349001349113所以A=237349已知矩阵r'b1_「610■0b263求常数sb.因为rb1_r■ahcd飞10•0b2_abaMB63_a其中心“所以a=3、ab=6,得b=2•例9.设矩阵A,B满足矩阵方程AX=B,解法一：先求矩阵A的逆矩阵.因为[A/]_1210__1210__ioo-T-1001f_0211_T1%B=-1■o-T_3o-■0-2■02_HX=A*%%21B]解法二：因为［a_1230_「100-2->0232T_o1%1_-10所以'10-fA=-314100试
7、计算A'lB.■10解因为[Al=-3110例10设矩阵1B=5-4-1100_40100001，求X.所以0-110011310->01-101001■41-1-101001■■1■'-441-1•5—13-101-4-51000000A^[B=0041-1-101例11设久3均为川阶对称矩阵，则AB+BA也是对称矩阵.证I大］为A,B是对称矩阵，即=A,B'H.(AB+BA)t=(AB)t+(5A)t=BtAj+ArBJ=BA+AB=AB+BA根据对称矩阵的性质可知,AB+BA是对称矩阵.例12设A是斤阶矩阵，若屮=0,则(/-A)-1
8、=/+A+A2.证因为(/—A)(/+A+A2)=i+a+a2-a-a2-a3=i-a3=/所以a—a)t=/+a+a2
