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1、2.1.2求曲线的方程1.建系：建立适当的直角坐标系(如果已给出，本步骤省略);２.设点：设曲线上任意一点的坐标(x,y);３.列式：根据曲线上点所适合的条件,写出等式;4.化简：用坐标x、y表示这个等式,并化方程为最简形式;５.证明：验证化简后的方程的解为坐标的点都是曲上的点.（一般变为确定点的范围即可）求曲线方程的一般步骤：几种常见求轨迹方程的方法1．直接法由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．例1．求到x轴距离等于2的点的轨迹方程。分析：动点P的轨
2、迹很容易知道就是两条平行于x轴的直线，所以根据图形的几何特点直接可以写出轨迹方程为：y=±2。直接法：由题设所给（或通过分析图形的几何性质而得出）的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程。.B模仿练习1.动点M与距离为2a的两个定点A，B的连线的斜率之积等于-1/2，求动点M的轨迹方程。..AM解:如图,以直线AB为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系，则A(-a,0),B(a,0)。设M(x,y)是轨迹上的任意一点，则由上可知，动点M的轨迹上的任一点的坐标都满足方程（1）；容易证明，以方程（1）的解为
3、坐标的点都在轨迹上。所以，方程（1）就是动点M的轨迹方程。模仿练习2.到F(2，0)和Y轴的距离相等的动点的轨迹方程是:__________________3.在三角形ABC中,若
4、BC
5、=4,BC边上的中线AD的长为3,求点A的轨迹方程.y2=4(x-1)x2+y2=9(y≠0)2．相关点法规律技巧:在求轨迹方程时经常遇到已知一动点的轨迹方程,求另一动点的轨迹方程的问题,而解决这类问题的解法称为代入法(或相关点法).而此法的关键是如何来表示出相关的点.例2、如下图，已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，
6、求线段AB的中点M的轨迹方程.xoyBMA解：设点M的坐标是（x,y),点A的坐标是，由于点B的坐标是（4,3），且点M是线段AB的中点，所以于是有因为点A在圆（x+1)²+y²=4上运动，所以点A的坐标满足方程（x+1)²+y²=4，把①代入②中，得(2x-4+1)²+（2y-3)²=4整理得：所以，点M的轨迹是以为圆心，半径长是1的圆。模仿练习4.点A(3,0)为圆x2+y2=1外一点,P为圆上任意一点,若AP的中点为M,当P在圆上运动时,求点M的轨迹方程.分析:利用中点坐标公式,把P点的坐标用M的坐标表示,利用代入法,代入圆的方程即可.例3
7、在圆x²+y²=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？yxoPDM相关点法解:解法1:设点M的坐标为(x,y).∵M为线段AB的中点,∴A的坐标为(2x,0),B的坐标为(0,2y).∵l1⊥l2,且l1、l2过点P(2,4),例4:过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1,l2,若l1交x轴于A点,l2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程.∴PA⊥PB,kPA·kPB=-1.整理得x+2y-5=0(x≠1).∵当x=1时,A､B的坐标分别为(2,0)､(0,4),∴线
8、段AB的中点坐标是(1,2),它满足方程x+2y-5=0.综上所求,点M的轨迹方程是x+2y-5=0.规律技巧:在平面直角坐标系中,遇到垂直问题,常利用斜率之积等于-1解题,但需注意斜率是否存在,即往往需要讨论,如解法1.求轨迹方程有时利用平面几何知识更为方便快捷.解法2:∵l1⊥l2,OA⊥OB,∴O,A,P,B四点共圆,且该圆的圆心为M.∴
9、MP
10、=
11、MO
12、.∴点M的轨迹为线段OP的中垂线.的中点坐标为(1,2),∴点M的轨迹方程是即x+2y-5=0.在求曲线方程的过程中，根据题中所给几何特征，利用平面几何知识将其转化为相应的数量关系得出方程
13、，这种方法叫做几何法。点差法3．参数法（交规法）：当动点P的坐标x,y之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量t，并用t表示动点的坐标x,y，从而得到动点轨迹的参数方程，消去参数t，便得到动点的轨迹的普通方程。4．定义法利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．例2.已知定点A(6,0),曲线C:x2+y2=4上的动点B,点M满足,求点M的轨迹方程.xyA(6,0)OBM特
14、征:所求(从)动点随已知曲线上的(主)动点的变化而变化方法:用从动点的坐标(x,y)表示主动点的坐标(x0,y0),然后代入已知曲线方程
