用轨迹法求对称曲线的方程

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1、用轨迹法求对称曲线的方程清远市一中吴树桂求某一曲线的对称曲线的方程，是一个基本而重要的问题，这个问题需要一种简便而通用的解决方法.下面我们先来看两道例题：[例一]已知平行四边形两条边所在直线的方程是AB：x+y-1=0，BC：3x-y+4=0，它的对角线的交点是M（3，3），求其它两边CD和DA所在直线的方程.[解法一]x+y-1=0解方程组3x-y+4=0得x=-，y=，则点B的坐标为（-，）因点M是BD的中点，由中点坐标公式，马上得D点的坐标为（，）.由CD∥AB，DA∥BC，KAB=-1，KB

2、C=3有KCD=-1，KDA=3，因此CD和DA所在直线的方程是：CD：y=-(x-)+；DA：y=3(x-)+即CD：x+y-11=0；DA：3x-y-16=0.[解法二]设直线CD上任一点的坐标为P（x，y），则点P关于点M对称的点为P1（6-x，6-y），由平行四边形的对称性知点P1必在直线AB上，把P1的坐标代入直线AB的方程得(6-x)+(6-y)-1=0，即x+y-11=0，这就是CD所在直线的方程.同理，把点(6-x，6-y)的坐标代入直线BC的方程得：3(6-x)-(6-y)+4=0

3、即3x-y-16=0，这就是DA所在直线的方程.[例二]求直线3x+4y-5=0关于直线x+y=0对称的直线的方程.[解法一]3x+4y-5=0解方程组LYx+y=0得x=-5，y=5.故两直线的交点为（-5，5）.θ1θ2如图示，θ1=θ2，3X+4Y-5=0则有tgθ1=tgθ2，X+Y=0XO而两已知直线的斜率分别为-和-1，设所求直线的斜率为k，那么有解得k=-，所以所求直线的方程为y-5=-(x+5)即4x+3y+5=0[解法二]设所求直线L1上任一点为P（x，y），它关于直线x+y=0对

4、称的点的坐标为P1（-y，-x）.由题设知点P1必在直线3x+4y-5=0上，则有3(-y)+4(-x)-5=0，即4x+3y+5=0，这就是所求直线的方程.从上述我们可以看到：（1）这两例中的解法二就是轨迹法，它显然比其它方法来得快捷简便.（2）用轨迹法求对称曲线的方程，最关键的是知道对称点坐标之间的关系.下面我们就来探讨求对称点坐标的一些结论.[定理1]点P（x，y）关于点M（a，b）成中心对称的点的坐标为P1（2a-x，2b-y）.证明：设对称点P1的坐标为（x1，y1），则由M是的中点得a=

5、，b=，所以x1=2a-x，y1=2b-y.因此P1的坐标为P1（2a-x，2b-y）.[定理2]点P（x，y）关于直线L：Ax+By+C=0（A、B不同时为零）对称的点P1的坐标是（，）[证明]设点P1的坐标为（x1，y1）（1）如果A≠0，则x≠x1.∵直线L垂直平分线段PP1，∴A·+B·+C=0解这个方程组得x1=，y1=.故命题成立.（2）如果A=0，则直线L的方程可写成y=-，这时P1的坐标为（x，--y），显然命题也成立.综合（1）、（2）知命题成立.根据定理1和定理2，运用轨迹法即可

6、推得有关对称曲线的下列结论：[推论1]曲线f（x，y）=0关于点M（a，b）成中心对称的曲线的方程是f（2a-x，2b-y）=0.[推论2]如果曲线的方程中，用2a-x代x，同时以2b-y代y而方程不变，那么曲线关于点（a，b）成中心对称.[推论3]曲线C：f（x，y）=0关于直线L：Ax+By+C=0（A、B不同时为零）成轴对称的曲线C1的方程是：f（，）=0.特别地，有如下结论：[推论4]曲线f（x，y）=0关于原点成中心对称的曲线的方程是f（-x，-y）=0.[推论5]曲线f（x，y）=0关于

7、x轴对称的曲线的方程是f（x，-y）=0.[推论6]曲线f（x，y）=0关于y轴对称的曲线的方程是f（-x，y）=0.[推论7]曲线f（x，y）=0关于直线x-y+c=0对称的曲线的方程是f（y-c，x+c）=0.[推论8]曲线f（x，y）=0关于直线x+y=c=0对称的曲线的方程是f（-y-c，-x-c）=0.[例二]求曲线=1关于直线x+y=0对称的曲线的方程.[解]在已知曲线的方程中，用-y代x，-x代y，得=1,即=1，这就是所求曲线的方程.[例四]若圆x2+y2-ax-2y+1=0关于直线

8、x-y-1=0对称的圆的方程是x2+y2-4x+3=0，则a的值等于.[解]在圆C的方程x2+y2-4x+3=0中，用y+1代x，x-1代y，方程变为：（y+1）2+（x-1）2-4（y+1）+3=0即x2+y2-2x-2y+1=0则与圆C关于直线x-y-1=0对称的圆的方程是x2+y2-2x-2y+1=0，而这是唯一，因此a=2.