圆柱贯穿圆锥的相贯线及其数学模型

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1、··洛阳师范学院学报年第期圆柱贯穿圆锥的相贯线及其数学模型张玉兰，智艾娣（洛阳师范学院数学科学学院；洛阳师范学院物理与电子科学系，河南洛阳）摘要：现行的工程制图教材中，轴线正交的圆柱贯穿圆锥时，其相贯线的某些特殊点总是近似求出文章以正投影理论为基础，以圆柱贯穿圆锥的数学模型为依据，提出了其相贯线上某些特殊点的准确求法，为手工及计算机准确绘制该相贯线提供了依据关键词：机械制图；圆柱；圆锥；相贯线；特殊点中图分类号：文献标识码：文章编号：（）收稿日期：作者简介：张玉兰（），女，河南武陟人，副教授圆柱贯穿

2、圆锥且轴线正交时，其相贯线（即表面产生的交线）是一条封闭的空间曲线求出该曲线上的个特殊点，即最高、最低、最左、最右、最前、最后点，就确定了相贯线的范围再求出曲线上的一些中间点，就确定了相贯线的弯曲方向上述相贯线的求法，一般教材及参考书上都是采用辅助平面法但这种方法，总有某些特殊点不能准确求出，如图主视图中的（）点，往往是凭经验或估计在某一范围内，在这个范围附近依靠耐心作多个辅助平面用逼近法近似［］求得因此，准确求出这些特殊点，对于手工绘图、计算机绘图及圆管平交正锥台三通下料等都有一定的实际意义图（）

3、求解三视图圆锥轴线重合的直线为轴，并使轴平行最右点的准确求解方法于圆柱轴线，则轴垂直于平面下面，首先求出由本文介绍的方法得出的相贯线上的特最右点的求解步骤殊点———最右点"、#点的坐标，然后再证明该如图主视图点正是相贯线上的最右点找出圆柱、圆锥两轴线的交点；从交点向圆锥的最右素线引垂线（若圆柱相贯在圆锥右侧，则向圆锥的最左素线引垂线），得垂足；过作辅助平面!（平行于圆锥底面的水平面，正面投影积聚成直线），则辅助平面!与圆柱、圆锥表面的共有点，是前、后对称的两点，它就是相贯线上的特殊点———最右点"、

4、#两点，其正面投影为（）求解最右点的数学模型设有一圆柱贯穿圆锥且轴线正交，如图建图数学模型的坐标图示立坐标系为：取圆锥面的顶点为坐标原点，与洛阳师范学院学报2006年第5期·47·l.求C、D点的坐标.如图2，圆柱与圆锥两面YOZ对称（点3、4属于圆柱相贯在圆锥右侧轴线的交点一定在Z轴上，设该点坐标为M（0，的情形），这里只讨论点l和（2即只讨论圆柱0，k）.在设定的坐标系下，圆锥面的方程和圆柱相贯于圆锥左侧的情况）点l和2就是本文面的方程分别为：所介绍的方法求出的相贯线上的、两点，即222+-=0

5、（l）!l，!2，、两点在平面上的投影222llc'、d'相重合，坐标为2+（-）2=2（2）223l2-，0，(2+22+2)式中，l为平面Z=K与圆锥面交线圆的半!ll径，为平面X=0与圆柱面交线圆的半径（即圆223l2柱的半径）.(22-，0，22)!+l+l坐标面XOZ与圆锥面有两条交线Ll和L22.证明、点在XOZ平面上的投影、（即图l主视图中圆锥的最右、最左素线），其方程为：为圆柱贯穿圆锥且轴线正交时，相贯线在XOZ=0平面上投影的最右点.Ll：{+=0（3）证明联立圆锥面和圆柱面的方程

6、（l）式和l（2）式，得相贯线（即交线）的方程：=0222L2：{=0（4）-l2+2-2=0{ll过点M（0，0，k）向直线L（l或L2）作垂线L3，2+（-）2=2其方程为：这是一条空间曲线，它在XOZ平面上的投=0影曲线方程为：L3：l（5）=0{=+2l2222{-=-（-）设Ll与L3的交点为N（正面投影为n'），联2立（3）式和（5）式，得N点的坐标为：整理得232222l+3N-，0，2l2l2(2+22+2)-2（-22）=22-（7）ll+l+l过点N作垂直于Z轴的平面P，其方程为

7、：22l23当22-"0时，（7）式可化为=（6）+l22+l32平面P同时截切圆锥面和圆柱面，得到圆柱2(-22)+l面、圆锥面及平面P的三面共点，即相贯线上的22-222=ll2l2--点.联立（l）、（2）、（6）式求得交点坐标为2+22+2(2+2)lll这就是相贯线的理论模型它是坐标面XOZ22243l-2，2-l，22l(2222222)l2!+l!（+l）+l上的一条双曲线方程，方程中22-的值的+l22243=l-2，-2-l，正或负，决定相贯线的形状及其顶点位置2(2222222)

8、!+l!（+l）+ll.3对相贯线形状及顶点的分析22243l.3.l圆柱贯穿圆锥=-l-2，2-l，3(2222222)22!+l!（+l）+l当l-2>0时，相贯线的形状如图l所2222243+l=-l-2，-2-l，4(2222222)示，即圆柱贯穿圆锥的情况其顶点坐标为：!+l!（+l）+l223l-2，0，，l(2222)因为点3和4分别与点l和2关于坐标!+l+l··洛阳师范学院学报年第期，，，()!此双曲线关于轴对称，我们只考虑左边一支的顶点可以看出，顶