厦门大学2010级大一高等数学期中考试试卷及答案

《厦门大学2010级大一高等数学期中考试试卷及答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、厦门大学高等数学(理工类)期中试卷＿＿＿＿学院＿＿＿系＿＿＿年级＿＿＿专业全校(理工A类)考试时间2010.11.281.（24分每小题6分）求下列数列或函数的极限(1);(2);(3)；(4)解（1）因为，因为，则.由夹逼极限准则，得.（2）因为当时，，，，因此，.（3）.（4）。另解：.2.（24分每小题6分）计算下列函数的导数或微分(1)设求；(2)设，求；(3)，求；(4)求由方程所确定的隐函数的二阶导数。解（1），.（2）.（3）.（4）由两边求导，得，解得，.3．（8分）求函数的间断点及其类型。解函数在和处没有定义，故其间断点为和.在点

2、，由于，即，故为函数的无穷间断点，属于第二类间断点.---4分在点，由于存在，于是，为函数的可去间断点，属于第一类间断点.--4分4．（12分）问取何值时，函数在上（1）连续；（2）可导；（3）一阶导数连续？解（1）因为当时，，而时，极限不存在，因此，当时,函数在处连续，从而函数在上连续；--4分（2）由于，因此，当时，函数在处可导，且；当时，，所以，函数在处可导，因此，当时，函数在上可导；--4分（3）因为，因此，当时，.函数在上一阶导数连续.--4分5.（8分）设，求证：对任意自然数,在中存在惟一的实根。证明作辅助函数，易知在上连续，且，即，-

3、-2分由零点定理知，存在，使得，即在存在实根.--3分另一方面。由于，，因此，函数在上单调减少，故在上最多一个零点，即在中存在惟一的实根.--3分6.（8分）证明恒等式：.证明令，则当时，--3分因此，.--2分取，则，故.--3分7．（12分）设在闭区间上连续，在开区间内可导，且，证明：在内存在一点，使得。证明作辅助函数，--4分由已知条件可知，在闭区间上连续，在开区间内可导，且，，--4分由罗尔定理可证，在内存在一点，使得，即.--4分8.（10分）下面两题任选一题(1)设不恒为常数的函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且，证明：在内至少存在一

4、点，使得。证明因为，且不恒为常数，则必存在一点，使得.--4分如果，由拉格朗日中值定理，存在，使得；--4分如果，由拉格朗日中值定理，存在，使得.--4分（2）设在上可微，且，试证明在内至少有两个零点。证明由，由极限的保号性，存在的一个右邻域，使得对于任意的，都有，即；--3分由，由极限的保号性，存在的一个左邻域，使得对于任意的，都有，即；--3分综上，存在满足，使得.--2分由于在上可微，则在上连续，即在上连续，由介值定理，存在，使得或.--2分由在上可微，分别在和上应用罗尔定理，存在，使得.因此，在内至少有两个零点.--2分