概率与数理统计1

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1、§2等可能概型与几何概型目录索引等可能概型（古典概型）几何概型第一章概率论的基本概念返回主目录生活中有这样一类试验，它们的共同特点是：样本空间的元素只有有限个；每个基本事件发生的可能性相同。1．等可能概型（古典概型）比如：足球比赛中扔硬币挑边，围棋比赛中猜先。我们把这类实验称为等可能概型，考虑到它在概率论早期发展中的重要地位，又把它叫做古典概型。第一章概率论的基本概念等可能概型返回主目录e1……ekA34北南西东e2……en2第一章概率论的基本概念等可能概型返回主目录设S={e1,e2,…en},由古典

2、概型的等可能性，得}.{}{}{21ne=PePePL==又由于基本事件两两互不相容；所以第一章概率论的基本概念等可能概型返回主目录若事件A包含k个基本事件，即A={e1,e2,…ek},则有：例1将一枚硬币抛掷三次。设：事件A1为“恰有一次出现正面”，事件A2为“至少有一次出现正面”，求P(A1),P(A2)。第一章概率论的基本概念等可能概型返回主目录解：根据上一节的记号，E2的样本空间S2={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT},n=8，即S2中包含有限个元素，且由对称性知每个基

3、本事件发生的可能性相同，属于古典概型。A1为“恰有一次出现正面”，A1={HTT,THT,TTH},第一章概率论的基本概念等可能概型返回主目录事件A2为“至少有一次出现正面”，A2={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH}第一章概率论的基本概念等可能概型返回主目录例2一口袋装有6只球，其中4只白球、2只红球。从袋中取球两次，每次随机的取一只。考虑两种取球方式：放回抽样第一次取一只球，观察其颜色后放回袋中，搅匀后再取一球。不放回抽样第一次取一球不放回袋中，第二次从剩余的球中再取一球。分别就上面两

4、种方式求：1）取到的两只都是白球的概率；2）取到的两只球颜色相同的概率；3）取到的两只球中至少有一只是白球的概率。第一章概率论的基本概念等可能概型返回主目录解：从袋中取两球，每一种取法就是一个基本事件。设A=“取到的两只都是白球”，B=“取到的两只球颜色相同”，C=“取到的两只球中至少有一只是白球”。有放回抽取:第一章概率论的基本概念等可能概型返回主目录无放回抽取:第一章概率论的基本概念等可能概型返回主目录例3将n只球随机的放入N(Nn)个盒子中去，求每个盒子至多有一只球的概率(设盒子的容量不限）。解：将n只球放

5、入N个盒子中去,共有而每个盒子中至多放一只球,共有第一章概率论的基本概念等可能概型返回主目录此例可以作为许多问题的数学模型，比如用此公式可以得出：“在一个有64人的班级里，至少有两人生日相同”的概率为99.7%。np2023304050641000.5890.4930.2940.1190.0300.0030.0000003设N=365,n取表中值,经计算可得下述结果：第一章概率论的基本概念等可能概型返回主目录例4设有N件产品，其中有D件次品，今从中任取n件，问其中恰有k(kD)件次品的概率是多少?又在D件次品中取

6、k件，所有可能的取法有在N-D件正品中取n-k件,所有可能的取法有解：在N件产品中抽取n件，取法共有不放回抽样1）第一章概率论的基本概念等可能概型返回主目录于是所求的概率为：此式即为超几何分布的概率公式。由乘法原理知：在N件产品中取n件，其中恰有k件次品的取法共有第一章概率论的基本概念等可能概型返回主目录2）有放回抽样从N件产品中有放回地抽取n件产品进行排列，可能的排列数为个，将每一排列看作基本事件，总数为。而在N件产品中取n件，其中恰有k件次品的取法共有于是所求的概率为：此式即为二项分布的概率公式。第一章概率论的

7、基本概念等可能概型返回主目录例5在1~2000的整数中随机的取一个数，问取到的整数既不能被6整除，又不能被8整除的概率是多少？解：设A为事件“取到的整数能被6整除”，B为“取到的整数能被8整除”，则所求的概率为：为：6，12，18…1998共333个，所以能被6整除的整数第一章概率论的基本概念等可能概型返回主目录AB为“既被6整除又被8整除”或“能被24整除”于是所求的概率为：其中B={8,16,…2000},AB={24,48…1992}，第一章概率论的基本概念等可能概型返回主目录例6将15名新生随机地平均分配到

8、3个班中去，这15名新生中有3名是优秀生。问：(1)每个班各分配到一名优秀生的概率是多少？(2)3名优秀生分配到同一个班级的概率是多少？解：15名新生平均分配到3个班级中去的分法总数为：第一章概率论的基本概念等可能概型返回主目录(1)将3名优秀生分配到3个班级，使每个班级都有一名优秀生的分法共有3!种。其余12名新生平均分配到3个班级中的分法共有每个班各分配