条件概率及有关公式

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1、1.4条件概率及有关公式一、条件概率二、乘法定理三、全概率公式四、贝叶斯公式1一、条件概率的定义及性质例,设10张彩票中只有一张中奖票,10人同时摸这10张,张三和李四各得一张记A:{张三中奖}B:{李四中奖}由古典概率模型知:现在设李四先刮开彩票,已知李四有没有中奖的信息对计算张三中奖的的可能性大小有没有影响?2显然,如果李四中奖,那么张三就没有机会中奖也就是说:在事件B发生的条件下,事件A发生的概率为0,记P(A

2、B)=0如果已知李四没中奖,张三中奖的机会有多大?也就是说:在事件B没发生的条件下,事件A发生的概率为多

3、少?3在“事件B已发生”的条件下,事件A发生的概率称为B条件下A的条件概率,记为P(A

4、B)定义:4分析::n个样本点B:m个样本点AB:k个样本点在B已发生的条件下,试验结果为m中的一个,这时A发生当且仅当AB中的某一样本点发生,故相当于“缩小了样本空间”5性质:(1)非负性:0≤P(A

5、B)≤1(2)规范性:P(

6、B)=1(3)可列可加性:若Ak(k=1,2,…)两两互斥,则另有:P(A1∪A2

7、B)=P(A1

8、B)+P(A2

9、B)P(A1A2

10、B)6例1设某厂生产的灯泡能使用1000小时以上的概率为0.9,能

11、使用1500小时以上的概率为0.3,如果有一个灯泡已经使用了1000小时没有损坏,求它能使用1500小时以上的概率解:A:“灯泡能使用1000小时以上”B:“灯泡能使用1500小时以上”由已知:P(A)=0.9,P(B)=0.37又BA所求:P(AB)=P(B)=0.38二、乘法定理推广到一般情形中:若n个事件A1,A2,…,An满足条件：P(A1A2…Ak)>0(k=1,2,…,n1),则：P(A1A2…An)=P(A1)P(A2

12、A1)P(A3

13、A1A2)…P(An

14、A1A2…An1)有:P(AB)=P(B)

15、P(A

16、B)9例2设袋中装有a只红球和b(b≥3)只白球,从中连续取球四次,每次取一球,取后不放回,试求第四次才取到红球的概率解:Ai:“第i次取到白球”(i=1,2,3,4)则:“第四次取到红球”:“第四次才取到红球”10故:11三、全概率公式设B1,B2,…,Bn是n个互不相容的事件,且P(Bi)>0(i=1,2,…,n),若则AB1B2B3…12B1,B2,…,Bn为样本空间的一个划分:(1)B1,B2,…,Bn两两互不相容(2)或称B1,B2,…,Bn为完备事件组13例3有三个形状相同的罐,在第一个罐中有2个白球

17、和1个黑球,在第二个罐中有3个白球和1个黑球,在第三个罐中有2个白球和2个黑球,现任取一罐,从中取出一球,试求取得白球的概率解:A:“取到的是白球”Bi:“球取自第i罐”(i=1,2,3)则B1,B2,B3是样本空间的一个划分14由全概率公式:15我们把事件A看作某一过程的结果,把B1,B2,…,Bk,…看作该过程的若干个原因则我们可以用全概率公式计算结果发生的概率,即求P(A)全概率公式的使用根据历史资料,每一原因发生的概率已知,即已知P(Bk)而且每一原因对结果的影响程度已知,即已知P(A

18、Bk)16例4两批相同种类

19、的产品各有十二件和十件,每批产品中各有一件废品,现在先从第一批产品中任取一件放入第二批中,然后再从第二批中任取一件,求这时取到废品的概率解:A:“取到废品”B:“从第一批中取到的是废品”有,17又有,由全概率公式,有:关键:划分18四、贝叶斯公式通常,由某一原因:互不相容的B1,B2,…,Bn结果:A如果在试验前P(Bi)及P(A

20、Bi)已知,现在进行一次试验,事件A的确发生了,重新估计Bi,即计算P(Bi

21、A)19贝叶斯公式:设B1,B2,…,Bn互不相容,P(A)>0,P(Bi)>0,则:分析:20例5某射击小组

22、共有20名射手,其中一级射手4人,二级射手8人,三级射手7人,四级射手1人,一、二、三、四级射手能通过选拔进入比赛的概率分别0.9,0.7,0.5,0.2,现从该射击小组任选一人,若此人已通过选拔进入比赛,问此人是一级射手的概率是多少?解:A:“任选的一名射手能通过选拔进入比赛”21Bi:“任选的一名射手是i级射手”(i=1,2,3,4)由已知:P(A

23、B1)=0.9,P(A

24、B2)=0.7,P(A

25、B3)=0.5,P(A

26、B4)=0.2所求概率为P(B1

27、A)22由贝叶斯公式:“结果原因”23