向量运算法则和运算律比较1表格

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1、人教A版选修2--1第三章空间向量与立体几何知识总结2013.3.9向量运算法则和运算律几何表示及运算坐标表示及运算运算律备注三角形法则平行四边形法则范围所有向量（两个及以上向量）不共线向量（两个量）所有向量所有向量①注意向量、、（＋）、（-）四者的关系，四者可以作为平行四边形的边和对角线，因此在向量运算中，要对这四者的关系很敏锐，可以采用构造平行四边形的方法解决问题。②，，，都在同一平面内加法各向量依次首尾相接后，第一个向量起点与最后向量终点相接即为向量之和。以两向量为邻边作平行四边形，共起点对角线即为两向量之和,不共起点的对角线

2、即为两向量之差。（向量路径的多样性）＋＝＋＝两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和。⑴交换律：＋=＋；⑵结合律：＋（＋）=（＋）＋减法同一起点作两向量，减向量终点指向被减向量终点。口诀：共起点、连终点，指向被减。＝＝两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差⑴交换律：＝+；⑵结合律：＋（）=（ｃ）＋向量数乘实数与向量的积仍是一个向量：，表示向量同向或反向长度伸缩倍。向量数乘是个向量运算中的一个媒介，它使向量加减与数量积的运算变得十分丰富，使它们在形式上更接近代数式的四则运算。λ=λ（x,y）=（λx,λy）实数与向量的积

3、的坐标等于这个实数乘原来向量的相应坐标。①结合律：λ（μ）=μ（λ），μ、λ为实数。②第一分配律：（λ+μ）=λ+μ，μ、λ为实数。③第二分配律：λ（+）=λ+λ，λ为实数。向量数量积=（夹角判断前提：共起点）的长度与在方向的投影的积，可用于求长度、距离、夹角、垂直等。==+两个向量的乘积等于它们对应坐标的乘积和。⊥＝=0⑴交换律：=⑵数乘分配律：（λ）=λ（）⑶分配律：（+）=+⑷不满足消去律、结合律和除法向量共线定理：推论：共线或=，或证明线线平行和空间三点共线向量共面定理：不共线共面推论：点在确定的平面内⑴且⑵证明三个向量共面

4、（或四点共面）3人教A版选修2--1第三章空间向量与立体几何知识总结2013.3.9立体几何中的向量方法平行垂直夹角点面距离线线平行线面平行面面平行线线垂直线面垂直面面垂直线线夹角线面夹角面面夹角涉及向量方向向量方向向量法向量法向量方向向量方向向量法向量法向量方向向量方向向量法向量法向量法向量方向向量与法向量的关系∥=⊥∥=⊥∥=⊥证法一方向向量平行方向向量与面内某一向量共线线线平行方向向量垂直判定定理判定定理⊥⊥⑴确定方向向量；⑵求两个向量夹角的余弦值；⑶确定向量夹角的范围；⑷确定线线夹角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时，即为

5、两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向量夹角的补角。⑴确定方向向量和法向量；⑵求两个向量夹角的余弦值；⑶确定向量夹角的范围；⑷确定线面角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时，线面角与这个夹角互余；当向量夹角为钝角时，线面角等于这个夹角减去90。⑴确定法向量；⑵求两个法向量夹角的余弦值；⑶确定二面角的范围；⑷确定二面角与面面角的关系：二面角的范围要通过观察图形来确定，法向量一般不能体现出来。⑴求平面的法向量；⑵求斜线段对应的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到平面的距离。证法二方向向量与面内两不共线向量共面线面平行方向向

6、量与法向量平行法向量垂直证法三方向向量与法向量垂直法向量平行一、常用方法：1、综合法；2、向量法；3、坐标法；二、常用技巧：1、假设（存在性）：假设结论成立，待定系数建立结论成立的方程（组），根据方程组是否有解来检验结论的正误。2、设元：在向量的几何运算中，将可以确定为基底的基向量设为元，用大字字母表示，其他向量用该基向量表示，可以简化计算过程。3、平方：长度求解。4：计算量：线性运算、比例（含对应坐标比）和数量积。5、赋值：法向量求解。三、易错易混辨析（明确定理、公式运用的前提条件）1、错把向量比直线，本质辨清是关键。⑴共线向量的

7、平行或重合，主要是看两个向量所在的直线有没有公共点，如没有公共点，则对应的两条直线是平行的，如果有公共点，那么对应的两条直线是重合的。⑵注意辨析平行直线与平行向量：平行向量所在的直线既可以平行，也可以重合；但平行直线是指不重合的两条直线。2、混淆向量与平面平行和直线与平面平行导致错误。线面平行要求直线必须在平面外，在利用向量证明线面平行时，需要说明对应的直线和平面的位置关系，这要求同学们在平时的学习中要注意充分理解定义、定理的实质。3人教A版选修2--1第三章空间向量与立体几何知识总结2013.3.93、混淆向量的夹角与空间角：利用

8、向量数量积的性质求解有关平面或空间中角的问题时，要特别注意向量的夹角与所求角的区别与联系，切不可盲目套用而忽略角的取值范围。利用向量求二面角时，向量求解一般不能保证所示角是锐角还是钝角，这时要结合实际图形对所求角进行适当的处理，不能混