向量运算法则和运算律比较1

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1、向量运算法则和运算律几何表示及运算坐标表示及运算运算律备注三角形法则平行四边形法则范围所冇向量（两个及以上向量）不共线向量（两个呈）所有向量所有向量①注意向量a、b、（a+〃）、（a-b）四者的关系，四者可以作为平行四边形的边和对角线，因此在向量运算中，要对这四者的关系很敏锐，可以采用构造平行四边形的方法解决问题。②加，/nb,加+“方，■/Lib都在同一平面内加法各向量依次首尾相接后,第一个向量起点与最后向量终点相接即为向量之和。以两向量为邻边作平行四边形，共起点对角线即为两向量之和，不共起点的对角线即为两向量之差。（向量路径的多样性）a+b=（xl9yl）+（x29

2、y2）=（xl+x29y1+y2）a+b=（xt+x29yl+y29zi+z2）两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和。⑴交换律：a+h+b；⑵结合律：a+（b+c）=（a+b）+c减法同一起点作两向量，减向量终点指向被减向量终点。口诀：共起点、连终点，指向被减。a_b=（兀］,）1）一（勺，），2）=（兀

3、一兀2，）‘1一>'2）a-b=（xl+兀2，刃+儿，勺+E）两个向量差的坐标分别等丁-这两个向量相应坐标的差⑴交换律：a-b=-b+a；⑵结合律：a+ch-c）=（a-c）+b向量数乘实数2与向量a的积仍是一个向量：2a,表示向量同向或反向长度伸缩久倍。向

4、量数乘是个向量运算中的一个媒介，它使向量加减与数量积的运算变得十分丰富，使它们在形式上更接近代数式的四则运算。Xa=X（x,y）=（Xx,Ay）实数与向最的枳的他标等于这个实数乘原來向最的相应坐标。①结合律：入（ua）=y（入a）,u、x为实数。②第一分配律：（入+p）a=^a+pa,»、入为实数。③第二分配律：x（a+b）a+b,x为实数。向量数量积ab=abcos0（夹角判断前提:共起点）a的长度a与b在a方向的投彩hcos0的积八abcos<9=r-n-r,可用于求长度、距离、夹角、乖肓等。a\ba•〃二（兀］，X）•（x29y2）=xl兀2+）'

5、i力两个向量的乘积等于它们对应坐标的乘积和。a丄方oab=x}x2+开儿+=0⑴交换律：ab=ba⑵数乘分配律：（入a）b=（ab）⑶分配律：（a+b）c=ac+be⑷不满足消去律、结合律和除法向量共线定理：ab<^>a=Ab(b0)空：色申,卩共线oOP=(l-t)OA+tOB或AP=AABaboa=Ab(J)h0)尢］=2x2,yJ=/iy2^zl=^z2，或兀—】吃儿5证明线线平行和空间三点共线向量共面定理：a,b不共线p,a,b共面op=加+“方(2,pwR)推论：点P在A,B,C确定的平面内<=>(1)OP=xOA+yOB+zOC且兀+y+z=1(2)AP=

6、xAB+yACp二加+卩己R)(xp,yp,zp)=^(xa，儿,©)+“(％%,§)=(芯+pxb,2儿+juyb,Aza+以b)，(入“eR)证明三个向量共面（或四点共面）立体几何中的向量方法平行垂直夹角点而距离线线平行线面平行面面平行线线垂直线面垂直血血垂II线线夹角线面夹角血血夹角涉及向量方向向量方向向量法向量法向量方向向量方向向量法向量法向量方向向量方向向量法向量法向量法向量方向向量与法向量的关系a//ba二kba丄“a・w=0U//Vu^kv。丄〃ab=0a//ua二ku”丄"=0-a-bsin—EIHl«l八lrvcos〃=lwIHABnz/-U—

7、n证法一方向向量平行方向向量与而内某一向量共线线线平行方向向量垂直判定定理aw=0bn=0判定定理aLabLa（1）确定方向向量;⑵求两个向量夹角的余弦值；（3）确定向量夹角的范围;⑷确定线线夹角与向議夹角的关系：当向量夹角为锐角时，即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向量夹角的补角。（1）确定方向向量和法向量；⑵求两个向量夹角的余弦值；⑶确定向量夹角的范围；⑷确定线面角与向量夹角的关系:当向量夹角为锐角时，线ifii角与这个夹角互余；当向量夹角为钝角时，线血角等于这个夹角减去90°。⑴确定法向量；⑵求两个法向量夹角的余弦值；⑶确定二面角的范围；⑷确定二

8、而角与面面角的关系：二面角的范围要通过观察图形來确定，法向量一般不能体现出來。⑴求平面的法向量；⑵求斜线段对应的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到平面的距离。证法二方向向量与面内两不共线向量共面线面平行方向向量与法向量平行法向量垂直证法二方向向量与法向量垂直法向量平行一、常用方法：1、综合法；2、向虽法；3、坐标法；二、常用技巧：1、假设（存在性）：假设结论成立，待定系数建立结论成立的方程（组），根据方程组是否有解来检验结论的止误。2、设元：在向量的儿何运算中，将可以确定为基底的基向量设为元，用大字字母表示，其他向量用该基向量表示，可